ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:
1) \(y = \sqrt{x^2 — 4x — 12} + \sqrt{x +1}\);
2) \(y = \frac{x-3}{\sqrt{18 + 3x — x^2}} + \frac{8}{x-5}\);
3) \(y = \sqrt{x^2 — 5x -14} — \frac{9}{\sqrt{x^2 — 81}}\);
4) \(y = \frac{1}{\sqrt{6-7x-3x^2}} + \frac{2}{\sqrt{x+1}}\).

1) \( y = \sqrt{x^2 — 4x — 12} + \sqrt{x + 1} \);
Первое неравенство:
\( x^2 — 4x — 12 > 0 \); \( D = 4^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64 \), тогда: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 6 \); \( (x + 2)(x — 6) > 0 \); \( x < -2 \), \( x > 6 \);
Второе неравенство: \( x + 1 \geq 0 \); \( x \geq -1 \);
Ответ: \( D(y) = (6; +\infty) \).

2) \( y = \frac{x — 3}{x — 5} + \sqrt{18 + 3x — x^2} \);
Первое неравенство:
\( 18 + 3x — x^2 > 0 \); \( x^2 — 3x — 18 < 0 \); \( D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81 \), тогда: \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 6 \); \( (x + 3)(x - 6) < 0 \); \( -3 < x < 6 \); Второе неравенство: \( x - 5 \neq 0 \); \( x \neq 5 \); Ответ: \( D(y) = (-3; 5) \cup (5; 6) \). 3) \( y = \sqrt{x^2 - 5x - 14} - \sqrt{x^2 - 81} \); Первое неравенство: \( x^2 - 5x - 14 \geq 0 \); \( D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81 \), тогда: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 7 \); \( (x + 2)(x - 7) \geq 0 \); \( x \leq -2 \), \( x \geq 7 \); Второе неравенство: \( x^2 - 81 \neq 0 \); \( x^2 \neq 81 \); \( x \neq \pm 9 \); Ответ: \( D(y) = (-\infty; -9) \cup (-9; -2] \cup [7; 9) \cup (9; +\infty) \). 4) \( y = \frac{1}{\sqrt{6 - 7x - 3x^2}} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \); Первое неравенство: \( 6 - 7x - 3x^2 > 0 \); \( 3x^2 + 7x — 6 < 0 \); \( D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 6 = 49 + 72 = 121 \), тогда: \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = \frac{2}{3} \); \( (x + 3)\left(x - \frac{2}{3}\right) < 0 \); \( -3 < x < \frac{2}{3} \); Второе неравенство: \( x + 1 > 0 \); \( x > -1 \);
Ответ: \( D(y) = (-1; \frac{2}{3}) \).

1) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{x^2 — 4x — 12} + \sqrt{x + 1} \). Для определения области определения функции необходимо учесть ограничения, накладываемые подкоренными выражениями. Первое подкоренное выражение \( x^2 — 4x — 12 \) должно быть больше нуля, так как квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Решим неравенство \( x^2 — 4x — 12 > 0 \). Дискриминант уравнения \( x^2 — 4x — 12 = 0 \) равен \( D = 4^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64 \), корни которого \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 6 \). Таким образом, неравенство \( (x + 2)(x — 6) > 0 \) выполняется при \( x < -2 \) и \( x > 6 \). Второе подкоренное выражение \( x + 1 \) должно быть неотрицательным, то есть \( x + 1 \geq 0 \), что дает \( x \geq -1 \). Область определения функции \( D(y) \) является пересечением этих двух условий. Учитывая, что \( x < -2 \) и \( x \geq -1 \) не пересекаются, остается только интервал \( x > 6 \). Таким образом, \( D(y) = (6; +\infty) \).

2) Рассмотрим функцию \( y = \frac{x — 3}{x — 5} + \sqrt{18 + 3x — x^2} \). Для определения области определения функции необходимо учесть два условия: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, и подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Первое условие: \( x — 5 \neq 0 \), то есть \( x \neq 5 \). Второе условие: \( 18 + 3x — x^2 \geq 0 \), что эквивалентно \( x^2 — 3x — 18 \leq 0 \). Дискриминант уравнения \( x^2 — 3x — 18 = 0 \) равен \( D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81 \), корни которого \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 6 \). Таким образом, неравенство \( (x + 3)(x — 6) \leq 0 \) выполняется при \( -3 \leq x \leq 6 \). Учитывая, что \( x \neq 5 \), область определения функции \( D(y) \) представляет собой объединение интервалов \( (-3; 5) \) и \( (5; 6) \). Таким образом, \( D(y) = (-3; 5) \cup (5; 6) \).

3) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{x^2 — 5x — 14} — \sqrt{x^2 — 81} \). Для определения области определения функции необходимо учесть два условия: оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными, и второе подкоренное выражение не должно быть равно нулю. Первое условие: \( x^2 — 5x — 14 \geq 0 \). Дискриминант уравнения \( x^2 — 5x — 14 = 0 \) равен \( D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81 \), корни которого \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 7 \). Таким образом, неравенство \( (x + 2)(x — 7) \geq 0 \) выполняется при \( x \leq -2 \) и \( x \geq 7 \). Второе условие: \( x^2 — 81 \neq 0 \), то есть \( x \neq \pm 9 \). Область определения функции \( D(y) \) представляет собой объединение интервалов, где выполняются оба условия. Таким образом, \( D(y) = (-\infty; -9) \cup (-9; -2] \cup [7; 9) \cup (9; +\infty) \).

4) Рассмотрим функцию \( y = \frac{1}{\sqrt{6 — 7x — 3x^2}} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \). Для определения области определения функции необходимо учесть два условия: оба подкоренных выражения должны быть положительными, так как они находятся в знаменателе. Первое условие: \( 6 — 7x — 3x^2 > 0 \), что эквивалентно \( 3x^2 + 7x — 6 < 0 \). Дискриминант уравнения \( 3x^2 + 7x - 6 = 0 \) равен \( D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 6 = 49 + 72 = 121 \), корни которого \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = \frac{2}{3} \). Таким образом, неравенство \( (x + 3)\left(x - \frac{2}{3}\right) < 0 \) выполняется при \( -3 < x < \frac{2}{3} \). Второе условие: \( x + 1 > 0 \), то есть \( x > -1 \). Область определения функции \( D(y) \) является пересечением этих двух условий, что дает интервал \( (-1; \frac{2}{3}) \). Таким образом, \( D(y) = (-1; \frac{2}{3}) \).