ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:
1) \(y = \sqrt{20 + 4x -3x^2} + \frac{3}{\sqrt{8 -4x}}\);
2) \(y = \frac{x+5}{\sqrt{35+2x-x^2}} + \frac{x-1}{|x|-6}\).

1) \( y = \sqrt{20 + 4x — 3x^2} + \sqrt[3]{8 — 4x} \);
Первое неравенство: \( 20 + 4x — 3x^2 \geq 0 \); \( 3x^2 — 4x — 20 \leq 0 \);
\( D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 20 = 16 + 240 = 256 \), тогда: \( x_1 = \frac{2 — \sqrt{256}}{6} = \frac{2 — 16}{6} = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3} \) и \( x_2 = \frac{2 + \sqrt{256}}{6} = \frac{2 + 16}{6} = \frac{18}{6} = 3 \);
\( (x + \frac{7}{3})(x — 3) \leq 0 \); \( -\frac{7}{3} \leq x \leq 3 \);
Второе неравенство: \( 8 — 4x \geq 0 \); \( 4x \leq 8 \); \( x \leq 2 \);
Ответ: \( D(y) = [-\frac{7}{3}, 2] \).

2) \( y = \frac{x + 5}{x — 1} \cdot \sqrt{35 + 2x — x^2} + \frac{1}{|x| — 6} \);
Первое неравенство: \( 35 + 2x — x^2 > 0 \); \( x^2 — 2x — 35 < 0 \); \( D = 2^2 + 4 \cdot 35 = 4 + 140 = 144 \), тогда: \( x_1 = \frac{2 - \sqrt{144}}{2} = \frac{2 - 12}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{2 + \sqrt{144}}{2} = \frac{2 + 12}{2} = 7 \); \( (x + 5)(x - 7) < 0 \); \( -5 < x < 7 \); Второе неравенство: \( |x| - 6 \neq 0 \); \( |x| \neq 6 \); \( x \neq \pm 6 \); Ответ: \( D(y) = (-5, 6) \cup (6, 7) \).

1) Функция \( y = \sqrt{20 + 4x — 3x^2} + \sqrt[3]{8 — 4x} \) определена при выполнении двух условий. Первое условие связано с квадратным корнем: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \( 20 + 4x — 3x^2 \geq 0 \). Это неравенство можно переписать в виде \( 3x^2 — 4x — 20 \leq 0 \). Для решения квадратного неравенства находим дискриминант: \( D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 20 = 16 + 240 = 256 \). Корни уравнения \( 3x^2 — 4x — 20 = 0 \) равны \( x_1 = \frac{2 — \sqrt{256}}{6} = \frac{2 — 16}{6} = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3} \) и \( x_2 = \frac{2 + \sqrt{256}}{6} = \frac{2 + 16}{6} = \frac{18}{6} = 3 \). Решение неравенства \( (x + \frac{7}{3})(x — 3) \leq 0 \) дает интервал \( -\frac{7}{3} \leq x \leq 3 \). Второе условие связано с кубическим корнем: выражение под корнем может быть любым действительным числом, но для удобства рассмотрим \( 8 — 4x \geq 0 \), что приводит к \( x \leq 2 \). Область определения функции \( y \) является пересечением двух интервалов: \( D(y) = [-\frac{7}{3}, 2] \).

2) Функция \( y = \frac{x + 5}{x — 1} \cdot \sqrt{35 + 2x — x^2} + \frac{1}{|x| — 6} \) требует выполнения нескольких условий. Первое условие связано с квадратным корнем: выражение под корнем должно быть положительным, то есть \( 35 + 2x — x^2 > 0 \). Это неравенство можно переписать в виде \( x^2 — 2x — 35 < 0 \). Дискриминант квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 35 = 0 \) равен \( D = 2^2 + 4 \cdot 35 = 4 + 140 = 144 \). Корни уравнения равны \( x_1 = \frac{2 - \sqrt{144}}{2} = \frac{2 - 12}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{2 + \sqrt{144}}{2} = \frac{2 + 12}{2} = 7 \). Решение неравенства \( (x + 5)(x - 7) < 0 \) дает интервал \( -5 < x < 7 \). Второе условие связано с дробью: знаменатель \( |x| - 6 \) не должен равняться нулю, то есть \( |x| \neq 6 \), что эквивалентно \( x \neq -6 \) и \( x \neq 6 \). Область определения функции \( y \) является пересечением интервалов с учетом исключенных точек: \( D(y) = (-5, 6) \cup (6, 7) \). В обоих случаях область определения функции определяется как пересечение интервалов, полученных из условий, наложенных на подкоренные выражения и знаменатели. Для первой функции \( y = \sqrt{20 + 4x - 3x^2} + \sqrt[3]{8 - 4x} \) мы получили \( D(y) = [-\frac{7}{3}, 2] \), что означает, что функция определена для всех \( x \) от \( -\frac{7}{3} \) до \( 2 \). Для второй функции \( y = \frac{x + 5}{x - 1} \cdot \sqrt{35 + 2x - x^2} + \frac{1}{|x| - 6} \) область определения \( D(y) = (-5, 6) \cup (6, 7) \) показывает, что функция определена для всех \( x \) от \( -5 \) до \( 7 \), за исключением точек \( x = -6 \) и \( x = 6 \). Эти исключения связаны с тем, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, а также с тем, что выражение под квадратным корнем должно быть положительным. Таким образом, область определения функции является важным понятием, которое позволяет определить, при каких значениях аргумента функция имеет смысл и может быть вычислена.