ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(x^2 + 4x + 3 > 0\);

2) \(x^2 — 3x + 2 \leq 0\);

3) \(-x^2 + 12x + 45 < 0\);

4) \(-3x^2 — 5x — 2 \geq 0\);

5) \(5x^2- 3x+ 1 \geq 0\);

6) \(-3x^2 + 6x — 4 > 0\);

7) \(\frac{1}{3}x^2 -2x+3 \leq 0\);

8) \(x^2 + \frac{1}{3}x- \frac{1}{36} > 0\);

9) \(2x^2 — 2x + 0,5 < 0\).

1) \( x^2 + 4x + 3 > 0 \); \( D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \), тогда: \( x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \); \( (x + 3)(x + 1) > 0 \); \( x < -3 \), \( x > -1 \); Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty) \).

2) \( x^2 — 3x + 2 \leq 0 \); \( D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \), тогда: \( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \); \( (x — 1)(x — 2) \leq 0 \); \( 1 \leq x \leq 2 \); Ответ: \( x \in [1; 2] \).

3) \( -x^2 + 12x + 45 < 0 \); \( x^2 — 12x — 45 > 0 \); \( D = 12^2 + 4 \cdot 45 = 144 + 180 = 324 \), тогда: \( x_1 = \frac{12 — 18}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{12 + 18}{2} = 15 \); \( (x + 3)(x — 15) > 0 \); \( x < -3 \), \( x > 15 \); Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (15; +\infty) \).

4) \( -3x^2 — 5x — 2 \geq 0 \); \( 3x^2 + 5x + 2 \leq 0 \); \( D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1 \), тогда: \( x_1 = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 3} = -1 \) и \( x_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3} \); \( (x + 1)\left(x + \frac{2}{3}\right) \leq 0 \); \( -1 \leq x \leq -\frac{2}{3} \); Ответ: \( x \in [-1; -\frac{2}{3}] \).

5) \( 5x^2 — 3x + 1 \geq 0 \); \( D = 3^2 — 4 \cdot 5 = 9 — 20 = -11 \); \( D < 0 \) и \( a = 5 > 0 \), значит \( x \in \mathbb{R} \); Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \).

6) \( -3x^2 + 6x — 4 > 0 \); \( 3x^2 — 6x + 4 < 0 \); \( D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 36 — 48 = -12 \); \( D < 0 \) и \( a = 3 > 0 \), значит \( x \in \emptyset \); Ответ: \( x \in \emptyset \).

7) \( 3x^2 — 2x + 3 \leq 0 \) |·3; \( x^2 — 6x + 9 \leq 0 \); \( (x — 3)^2 \leq 0 \); \( x — 3 = 0 \); \( x = 3 \); Ответ: \( x \in \{3\} \).

8) \( -x^2 + 3x — 36 > 0 \) | ·(-36); \( 36x^2 — 12x + 1 < 0 \); \( (6x — 1)^2 < 0 \); \( x \in \emptyset \); Ответ: \( x \in \emptyset \).

9) \( 2x^2 — 2x + 0,5 < 0 \) | · 2; \( 4x^2 — 4x + 1 < 0 \); \( (2x — 1)^2 < 0 \); Ответ: \( x \in \emptyset \).

1) Рассмотрим неравенство \( x^2 + 4x + 3 > 0 \). Для начала найдем корни уравнения \( x^2 + 4x + 3 = 0 \). Вычислим дискриминант: \( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \). Так как \( D > 0 \), корни существуют: \( x_1 = \frac{-4 — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \).

Теперь представим уравнение в виде произведения: \( (x + 3)(x + 1) = 0 \). Корни делят числовую ось на интервалы: \( (-\infty; -3) \), \( (-3; -1) \), \( (-1; +\infty) \). Проверим знак выражения \( (x + 3)(x + 1) \) в каждом из интервалов. В интервале \( (-\infty; -3) \), например при \( x = -4 \), \( (-4 + 3)(-4 + 1) = (-1)(-3) = 3 > 0 \). В интервале \( (-3; -1) \), например при \( x = -2 \), \( (-2 + 3)(-2 + 1) = (1)(-1) = -1 < 0 \). В интервале \( (-1; +\infty) \), например при \( x = 0 \), \( (0 + 3)(0 + 1) = (3)(1) = 3 > 0 \).

Так как нас интересует, где выражение больше нуля, выбираем интервалы, где значение положительное: \( x < -3 \) или \( x > -1 \). Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty) \).

2) Рассмотрим неравенство \( x^2 — 3x + 2 \leq 0 \). Найдем корни уравнения \( x^2 — 3x + 2 = 0 \). Дискриминант: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \). Корни: \( x_1 = \frac{3 — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 1}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \).

Представим уравнение как \( (x — 1)(x — 2) = 0 \). Корни делят ось на интервалы: \( (-\infty; 1) \), \( (1; 2) \), \( (2; +\infty) \). Проверим знак выражения. В интервале \( (-\infty; 1) \), при \( x = 0 \), \( (0 — 1)(0 — 2) = (-1)(-2) = 2 > 0 \). В интервале \( (1; 2) \), при \( x = 1.5 \), \( (1.5 — 1)(1.5 — 2) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0 \). В интервале \( (2; +\infty) \), при \( x = 3 \), \( (3 — 1)(3 — 2) = (2)(1) = 2 > 0 \).

Неравенство \( \leq 0 \) выполняется там, где выражение отрицательное или равно нулю, то есть в интервале \( [1; 2] \). Ответ: \( x \in [1; 2] \).

3) Рассмотрим неравенство \( -x^2 + 12x + 45 < 0 \). Умножим на \(-1\), помня, что знак неравенства меняется: \( x^2 — 12x — 45 > 0 \). Найдем корни уравнения \( x^2 — 12x — 45 = 0 \). Дискриминант: \( D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324 \). Корни: \( x_1 = \frac{12 — \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{12 — 18}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{12 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 18}{2} = 15 \).

Уравнение в виде произведения: \( (x + 3)(x — 15) = 0 \). Интервалы: \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 15) \), \( (15; +\infty) \). Проверим знак. В интервале \( (-\infty; -3) \), при \( x = -4 \), \( (-4 + 3)(-4 — 15) = (-1)(-19) = 19 > 0 \). В интервале \( (-3; 15) \), при \( x = 0 \), \( (0 + 3)(0 — 15) = (3)(-15) = -45 < 0 \). В интервале \( (15; +\infty) \), при \( x = 16 \), \( (16 + 3)(16 — 15) = (19)(1) = 19 > 0 \).

Неравенство \( > 0 \) выполняется для \( x < -3 \) или \( x > 15 \). Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (15; +\infty) \).

4) Рассмотрим неравенство \( -3x^2 — 5x — 2 \geq 0 \). Умножим на \(-1\), меняя знак неравенства: \( 3x^2 + 5x + 2 \leq 0 \). Найдем корни уравнения \( 3x^2 + 5x + 2 = 0 \). Дискриминант: \( D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1 \). Корни: \( x_1 = \frac{-5 — \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 — 1}{6} = -1 \), \( x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 1}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \).

Уравнение: \( 3\left(x + 1\right)\left(x + \frac{2}{3}\right) = 0 \). Интервалы: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; -\frac{2}{3}) \), \( (-\frac{2}{3}; +\infty) \). Проверим знак выражения \( 3(x + 1)\left(x + \frac{2}{3}\right) \). В интервале \( (-\infty; -1) \), при \( x = -2 \), \( (-2 + 1)\left(-2 + \frac{2}{3}\right) = (-1)\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} > 0 \), с учетом множителя 3 знак положительный. В интервале \( (-1; -\frac{2}{3}) \), при \( x = -0.8 \), \( (-0.8 + 1)\left(-0.8 + \frac{2}{3}\right) = (0.2)\left(-\frac{2}{15}\right) < 0 \), знак отрицательный. В интервале \( (-\frac{2}{3}; +\infty) \), при \( x = 0 \), \( (0 + 1)\left(0 + \frac{2}{3}\right) = (1)\left(\frac{2}{3}\right) > 0 \), знак положительный.

Неравенство \( \leq 0 \) выполняется в интервале \( [-1; -\frac{2}{3}] \). Ответ: \( x \in [-1; -\frac{2}{3}] \).

5) Рассмотрим неравенство \( 5x^2 — 3x + 1 \geq 0 \). Найдем дискриминант уравнения \( 5x^2 — 3x + 1 = 0 \): \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 — 20 = -11 \). Так как \( D < 0 \), корней нет, а коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( a = 5 > 0 \)), значит парабола направлена вверх и выражение всегда положительное для всех \( x \).

Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел. Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \).

6) Рассмотрим неравенство \( -3x^2 + 6x — 4 > 0 \). Умножим на \(-1\), меняя знак: \( 3x^2 — 6x + 4 < 0 \). Дискриминант уравнения \( 3x^2 — 6x + 4 = 0 \): \( D = (-6)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 36 — 48 = -12 \). Так как \( D < 0 \), корней нет, а коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( a = 3 > 0 \)), значит выражение всегда положительное.

Неравенство \( < 0 \) не выполняется ни при каких \( x \). Ответ: \( x \in \emptyset \).

7) Рассмотрим неравенство \( 3x^2 — 2x + 3 \leq 0 \). Умножим на 3, чтобы упростить: \( 9x^2 — 6x + 9 \leq 0 \), или \( (3x — 3)^2 \leq 0 \), что эквивалентно \( (x — 3)^2 \leq 0 \). Квадрат числа всегда неотрицателен, и равен нулю только при \( x — 3 = 0 \), то есть \( x = 3 \).

Таким образом, неравенство выполняется только при \( x = 3 \). Ответ: \( x \in \{3\} \).

8) Рассмотрим неравенство \( -x^2 + 3x — 36 > 0 \). Умножим на \(-36\), меняя знак: \( 36x^2 — 108x + 1296 < 0 \), или после упрощения: \( 36x^2 — 12x + 1 < 0 \), что можно записать как \( (6x — 1)^2 < 0 \). Квадрат числа всегда неотрицателен, и не может быть меньше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется ни при каких \( x \). Ответ: \( x \in \emptyset \).

9) Рассмотрим неравенство \( 2x^2 — 2x + 0.5 < 0 \). Умножим на 2: \( 4x^2 — 4x + 1 < 0 \), или \( (2x — 1)^2 < 0 \). Квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, неравенство не выполняется ни при каких \( x \). Ответ: \( x \in \emptyset \).