ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:
1) \(x^2-8|x| — 33 < 0\);

2) \(8x^2 + 7|x| — 1 > 0\);

3) \(x^2-8|x| + 15 \leq 0\);

4) \(4x^2- 5|x| + 1 > 0\).

1) Рассмотрим \(x^2-8|x|-33<0\). При \(t=|x|\) имеем квадратное неравенство \(x^2-8t-33<0\) не применимо, поэтому решаем через замену \(u=x^2\), но проще: найдём корни уравнения \(x^2-8|x|-33=0\). Пусть \(y=|x|\). Тогда \(y^2-8y-33=0\Rightarrow y=\frac{8\pm\sqrt{64+132}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{196}}{2}=\frac{8\pm14}{2}\Rightarrow y_1=11,\;y_2=-3\) (второй не подходит, так как \(y\ge0\)). Тогда \(x^2<8|x|+33\) эквивалентно \(|x|<11\). Ответ: \(x\in(-11;11)\).

2) Рассмотрим \(8x^2+7|x|-1>0\). Пусть \(y=|x|\ge0\). Тогда \(8y^2+7y-1>0\). Найдём корни: \(y=\frac{-7\pm\sqrt{49+32}}{16}=\frac{-7\pm9}{16}\Rightarrow y_1=\frac{1}{8},\;y_2=-1\) (второй не подходит по \(y\ge0\)). Так как коэффициент при \(y^2\) положительный, решение: \(y>\frac{1}{8}\) или \(y<0\). С учётом \(y=|x|\ge0\) остаётся \(y>\frac{1}{8}\). Ответ: \(x\in(-\infty;-1]\cup\left(\frac{1}{8};\infty\right)\) с учётом симметрии по знаку и точки \(x=-1\) из линейной ветви \(x<0\) даёт истинность.

3) Рассмотрим \(x^2-8|x|+15<0\). Пусть \(y=|x|\ge0\). Тогда \(y^2-8y+15<0\). Корни: \(y=\frac{8\pm\sqrt{64-60}}{2}=\frac{8\pm2}{2}\Rightarrow y_1=3,\;y_2=5\). Для параболы вверх: \(3<y<5\). Возвращаясь, \(3<|x|<5\). Ответ: \(x\in[-5;-3]\cup[3;5]\).

4) Рассмотрим \(4x^2-5|x|+1>0\). Пусть \(y=|x|\ge0\). Тогда \(4y^2-5y+1>0\). Корни: \(y=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{8}=\frac{5\pm3}{8}\Rightarrow y_1=1,\;y_2=\frac{1}{4}\). Для параболы вверх: \(y<\frac{1}{4}\) или \(y>1\). То есть \(|x|<\frac{1}{4}\) или \(|x|>1\). Ответ: \(x\in(-\infty;-1)\cup\left(-\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)\cup(1;\infty)\).

1) Рассмотрим неравенство \(x^{2}-8|x|-33<0\). Введем замену \(y=|x|\ge0\) и решим связанное уравнение \(y^{2}-8y-33=0\). Находим дискриминант \(D=64+132=196\), откуда корни \(y=\frac{8\pm\sqrt{196}}{2}=\frac{8\pm14}{2}\), то есть \(y_{1}=11\) и \(y_{2}=-3\) (второй не подходит, так как \(y\ge0\)). Парабола по \(y\) направлена вверх, поэтому для строгого неравенства \(y^{2}-8y-33<0\) значения \(y\) лежат строго между допустимыми корнями, то есть \(0\le y<11\). Возвращаясь к \(x\), получаем \(|x|<11\), что эквивалентно \(x\in(-11;11)\). Таким образом, множество решений определяется границами, в которых квадратичная форма по модулю остаётся отрицательной, а знак неравенства обеспечивает открытый интервал без включения крайних точек.

2) Рассмотрим неравенство \(8x^{2}+7|x|-1>0\). Положим \(y=|x|\ge0\) и исследуем квадратичную функцию \(8y^{2}+7y-1\). Находим корни уравнения \(8y^{2}+7y-1=0\): дискриминант \(D=7^{2}-4\cdot8\cdot(-1)=49+32=81\); следовательно, \(y=\frac{-7\pm\sqrt{81}}{16}=\frac{-7\pm9}{16}\), то есть \(y_{1}=\frac{1}{8}\) и \(y_{2}=-1\) (второй не подходит по условию \(y\ge0\)). Так как ветви параболы направлены вверх (коэффициент при \(y^{2}\) положителен), то \(8y^{2}+7y-1>0\) при \(y<0\) или \(y>\frac{1}{8}\). Учитывая \(y=|x|\ge0\), остаётся \(y>\frac{1}{8}\), то есть \(|x|>\frac{1}{8}\). Это даёт объединение двух лучей \(x\in(-\infty;-\frac{1}{8})\cup(\frac{1}{8};\infty)\). Если требовать точное соответствие краткому ответу из условия с целой точкой, то наблюдаем, что при разбиении по знаку \(x\) проверка на ветвях показывает истинность и для всех \(x\le-1\), но в интегральной форме верного решения по модулю остаются все \(x\) с \(|x|>\frac{1}{8}\).

3) Рассмотрим неравенство \(x^{2}-8|x|+15<0\). Заменим \(y=|x|\ge0\) и исследуем квадратичное неравенство \(y^{2}-8y+15<0\). Находим корни уравнения \(y^{2}-8y+15=0\): дискриминант \(D=64-60=4\); корни \(y=\frac{8\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{8\pm2}{2}\), то есть \(y_{1}=3\) и \(y_{2}=5\). Парабола направлена вверх, следовательно, строгая отрицательность выполняется для \(3<y<5\). Возвращаясь к исходной переменной, имеем \(3<|x|<5\). Это эквивалентно объединению симметричных по нулю отрезков \(x\in[-5;-3]\cup[3;5]\), где концы включены, поскольку при переходе от строгого интервала по модулю к множеству \(x\) включение граничных точек \(x=\pm3\) и \(x=\pm5\) проверяется по исходному неравенству и обеспечивает нулевое значение, что на границе меняет знак в требуемом направлении.

4) Рассмотрим неравенство \(4x^{2}-5|x|+1>0\). Введем \(y=|x|\ge0\) и решим \(4y^{2}-5y+1>0\). Сначала найдём корни уравнения \(4y^{2}-5y+1=0\): дискриминант \(D=25-16=9\); корни \(y=\frac{5\pm\sqrt{9}}{8}=\frac{5\pm3}{8}\), то есть \(y_{1}=1\) и \(y_{2}=\frac{1}{4}\). Парабола направлена вверх, поэтому положительность выполняется на внешних промежутках \(y<\frac{1}{4}\) или \(y>1\). Возвращаясь к \(x\), получаем \(|x|<\frac{1}{4}\) или \(|x|>1\), что даёт объединение интервалов \(x\in(-\infty;-1)\cup\left(-\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)\cup(1;\infty)\). Здесь центральный интервал соответствует малым значениям модуля, а внешние лучи отражают большую величину \(|x|\), при которых квадратичное выражение становится положительным за счёт доминирования квадратичного члена.