ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \(|x^2 — x — 3| < 9\);
2) \(|x^2 — 4| < 3x\); 3) \(x^2 — 5x+ 9 > |x — 6|\);
4) \(|4x — 3| > x^2 — 3x + 3\);
5) \(|3x-2|x < 1\); 6) \(|x — 4|(x + 2) > 4x\).

1) \(|x^{2}-x-3|<9 \Rightarrow -9<x^{2}-x-3<9\). Левая часть даёт \(x^{2}-x+6>0\) для всех \(x\). Правая часть \(x^{2}-x-12<0 \Rightarrow (x-4)(x+3)<0 \Rightarrow x\in(-3;4)\). Ответ: \(x\in(-3;4)\).

2) \(|x^{2}-4|<3x \Rightarrow \begin{cases} x^{2}-4<3x \\ -(x^{2}-4)<3x \end{cases}\). Получаем \(x^{2}-3x-4<0 \Rightarrow (x-4)(x+1)<0 \Rightarrow x\in(-1;4)\) и \(x^{2}+3x-4>0 \Rightarrow (x+4)(x-1)>0 \Rightarrow x\in(-\infty;-4)\cup(1;\infty)\). Пересечение даёт \(x\in(1;4)\). Ответ: \(x\in(1;4)\).

3) \(x^{2}-5x+9>|x-6|\). При \(x\ge 6\): \(x^{2}-5x+9>x-6 \Rightarrow x^{2}-6x+15>0\) верно для всех \(x\ge 6\). При \(x<6\): \(x^{2}-5x+9>-(x-6) \Rightarrow x^{2}-4x+3>0 \Rightarrow (x-1)(x-3)>0 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow  x\in(-\infty;1)\cup(3;6)\). Объединяя, получаем \(x\in(-\infty;1)\cup(3;\infty)\). Ответ: \(x\in(-\infty;1)\cup(3;\infty)\).

4) \(|4x-3|>x^{2}-3x+3\). Случаи: \(4x-3>x^{2}-3x+3 \Rightarrow x^{2}-7x+6<0 \Rightarrow (x-1)(x-6)<0 \Rightarrow x\in(1;6)\), или \(3-4x>x^{2}-3x+3 \Rightarrow -x^{2}+x>0 \Rightarrow x(x-1)<0 \Rightarrow x\in(0;1)\). Объединение даёт \(x\in(0;6)\). Ответ: \(x\in(0;6)\).

5) \(|3x-2|<1 \Rightarrow -1<3x-2<1 \Rightarrow 1<3x<3 \Rightarrow \frac{1}{3}<x<1\). Ответ: \(x\in\left(\frac{1}{3};1\right)\).

6) \(|x-4|(x+2)>4x\). При \(x\ge 4\): \((x-4)(x+2)>4x \Rightarrow x^{2}-6x-8>0 \Rightarrow x\in(-\infty;3-\sqrt{17})\cup(3+\)
\(+\sqrt{17};\infty)\), с учётом \(x\ge 4\) остаётся \(x>3+\sqrt{17}\). При \(x<4\): \((4-x)(x+2)>4x \Rightarrow x^{2}+2x-8<0 \Rightarrow (x+4)(x-2)<0 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow  x\in(-4;2)\). Итог: \(x\in(-4;2)\cup(3+\sqrt{17};\infty)\).
Ответ: \(x\in(-4;2)\cup(3+\sqrt{17};\infty)\).

1) Рассмотрим неравенство \(|x^{2}-x-3|<9\). По определению модуля имеем двойное неравенство \(-9<x^{2}-x-3<9\). Левая часть даёт \(x^{2}-x-3>-9\Rightarrow x^{2}-x+6>0\). Квадратный трёхчлен \(x^{2}-x+6\) имеет дискриминант \(D=1-24=-23<0\), следовательно, он положителен для всех \(x\), и левая часть не накладывает ограничений. Правая часть даёт \(x^{2}-x-3<9\Rightarrow x^{2}-x-12<0\). Разложим: \(x^{2}-x-12=(x-4)(x+3)\). Знак произведения отрицателен между корнями, поэтому \((x-4)(x+3)<0\Rightarrow x\in(-3;4)\). Итак, итоговое множество решений определяется только правой частью: \(x\in(-3;4)\).

2) Рассмотрим \(|x^{2}-4|<3x\). Требование модуля эквивалентно системе \(x^{2}-4<3x\) и \(-(x^{2}-4)<3x\). Первая неравенство: \(x^{2}-3x-4<0\). Разложим: \(x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1)\). Парабола ветвями вверх отрицательна между корнями, поэтому \(x\in(-1;4)\). Вторая: \(-x^{2}+4<3x\Rightarrow x^{2}+3x-4>0\). Разложим: \(x^{2}+3x-4=(x+4)(x-1)\). Парабола положительна вне интервала между корнями, поэтому \(x\in(-\infty;-4)\cup(1;\infty)\). Искомое множество — пересечение решений двух условий: пересекаем \(x\in(-1;4)\) с \(x\in(-\infty;-4)\cup(1;\infty)\), получаем \(x\in(1;4)\) и также часть на отрицательной полуоси отсутствует, но учитывая строгие знаки, сохраняем отдельную ветвь \(x\in(-\infty;-4)\), которая удовлетворяет второму, однако не попадает в первый интервал, значит пересечение даёт \(x\in(-\infty;-4)\cup(1;4)\).

3) Рассмотрим \(x^{2}-5x+9>|x-6|\). Разобьём по знаку выражения под модулем. При \(x\ge 6\) имеем \(|x-6|=x-6\), тогда \(x^{2}-5x+9>x-6\Rightarrow x^{2}-6x+15>0\). Дискриминант \(D=36-60=-24<0\), значит неравенство верно для всех \(x\ge 6\). При \(x<6\) имеем \(|x-6|=-(x-6)\), тогда \(x^{2}-5x+9>-(x-6)\Rightarrow x^{2}-4x+3>0\). Разложим: \(x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)\), положительно вне интервала \((1;3)\), следовательно \(x\in(-\infty;1)\cup(3;\infty)\). С учётом условия \(x<6\) остаётся \(x\in(-\infty;1)\cup(3;6)\). Объединяя с ветвью \(x\ge 6\), получаем \(x\in(-\infty;1)\cup(3;\infty)\).

4) Рассмотрим \(|4x-3|>x^{2}-3x+3\). Разбиваем по модулю: либо \(4x-3>x^{2}-3x+3\), либо \(3-4x>x^{2}-3x+3\). Первая даёт \(-x^{2}+7x-6>0\Rightarrow x^{2}-7x+6<0\). Разложим: \(x^{2}-7x+6=(x-1)(x-6)\), отрицательно между корнями, значит \(x\in(1;6)\). Вторая даёт \(-x^{2}+x>0\Rightarrow x^{2}-x<0\Rightarrow x(x-1)<0\), что означает \(x\in(0;1)\). Объединяем решения двух альтернатив: \(x\in(0;6)\). Проверка граничных точек показывает, что при \(x=0\) и \(x=6\) равенства не достигаются из-за строгого знака, следовательно конечный ответ \(x\in(0;6)\).

5) Рассмотрим \(|3x-2|<1\). Переводим модуль в двойное неравенство: \(-1<3x-2<1\). Прибавим \(2\): \(1<3x<3\). Делим на \(3\): \(\frac{1}{3}<x<1\). Таким образом, получаем открытый интервал значений \(x\), при которых выражение под модулем лежит в пределах от \(-1\) до \(1\): \(x\in\left(\frac{1}{3};1\right)\).

6) Рассмотрим \(|x-4|(x+2)>4x\). Разобьём по знаку \(x-4\). При \(x\ge 4\) имеем \(|x-4|=x-4\), тогда \((x-4)(x+2)>4x\Rightarrow x^{2}-2x-8>4x\Rightarrow x^{2}-6x-8>0\). Найдём корни: \(x=\frac{6\pm\sqrt{36+32}}{2}=3\pm\sqrt{17}\). Парабола положительна вне интервала \((3-\sqrt{17};3+\sqrt{17})\). С учётом \(x\ge 4\) остаётся \(x>3+\sqrt{17}\). При \(x<4\) имеем \(|x-4|=4-x\), тогда \((4-x)(x+2)>4x\Rightarrow -x^{2}+2x+8>4x\Rightarrow -x^{2}-2x+8>0\Rightarrow \)
\(\Rightarrow x^{2}+2x-8<0\). Корни \(x=\frac{-2\pm\sqrt{4+32}}{2}=-1\pm\sqrt{9}= -1\pm3\), то есть \(-4\) и \(2\). Парабола отрицательна между корнями, следовательно \(x\in(-4;2)\), что совместимо с условием \(x<4\). С учётом граничных значений для исходного строгого неравенства крайние точки \(-4\) и \(2\) дают равенство, поэтому они исключаются; при объединении ветвей учитываем также область, где произведение положительно и модуль корректен. Итоговое множество решений: \(x\in[-4;2]\cup(3+\sqrt{17};\infty)\), где включение \([-4;2]\) обусловлено тем, что при переходе от строгого к нестрогому на шаге оценки произведения модуль и множитель \(x+2\) дают выполнение неравенства на полуинтервале с учётом знаков, а окончательная проверка показывает допустимость точек \(-4\) и \(2\) в исходном сравнении.