ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \(|x^2 — x — 3| < 9\); 2) \(|x^2 - 4| < 3x\); 3) \(x^2 - 5x+ 9 > |x — 6|\);
4) \(|4x — 3| > x^2 — 3x + 3\);
5) \(|3x-2|x < 1\); 6) \(|x - 4|(x + 2) > 4x\).

1) \(|x^2 — x — 3| < 9\): Решая квадратное неравенство, получаем \(x \in (-3; 4)\).
2) \(|x^2 — 4| < 3x\): Решая систему неравенств, получаем \(x \in (1; 4) \cup (-\infty; -1] \cup [1; 6]\).
3) \(x^2 — 5x + 9 > |x — 6|\): Рассматривая случаи \(x \ge 6\) и \(x < 6\), получаем \(x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\).
4) \(|4x — 3| > x^2 — 3x + 3\): Решая систему неравенств, получаем \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; 6]\).
5) \(|3x — 2|x < 1\): Решая систему неравенств, получаем \(x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3}; 1)\).
6) \(|x — 4|(x + 2) \ge 4x\): Рассматривая случаи \(x \ge 4\) и \(x < 4\), получаем \(x \in [-4; 2] \cup (3 + \sqrt{17}; +\infty)\).

1) \(|x^2 — x — 3| < 9\):
Первое неравенство: \(x^2 — x — 3 < 9\), \(x^2 — x — 12 < 0\), \(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49\), тогда \(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = 4\), \((x + 3)(x — 4) < 0\), \(-3 < x < 4\). Второе неравенство: \(x^2 — x — 3 > -9\), \(x^2 — x + 6 > 0\), \(D = 1^2 — 4 \cdot 6 = 1 — 24 = -23\), \(D < 0\) и \(a = 1 > 0\), значит \(x \in \mathbb{R}\). Ответ: \(x \in (-3; 4)\).

2) \(|x^2 — 4| < 3x\):
Первое неравенство: \(x^2 — 4 < 3x\), \(x^2 — 3x — 4 < 0\), \(D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25\), тогда \(x_1 = \frac{3 — \sqrt{25}}{2} = -1\) и \(x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = 4\), \((x + 1)(x — 4) < 0\), \(-1 < x < 4\). Второе неравенство: \(x^2 — 4 > -3x\), \(x^2 + 3x — 4 > 0\), \(D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25\), тогда \(x_1 = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2} = -4\) и \(x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = 1\), \((x + 4)(x — 1) > 0\), \(x \le -4\) или \(x \ge 1\). Ответ: \(x \in (1; 4) \cup (-\infty; -1] \cup [1; 6]\).

3) \(x^2 — 5x + 9 > |x — 6|\):
Если \(x \ge 6\), тогда \(x^2 — 5x + 9 > x — 6\), \(x^2 — 6x + 15 > 0\), \(D = 6^2 — 4 \cdot 15 = 36 — 60 = -24\), \(D < 0\) и \(a = 1 > 0\), значит \(x \in \mathbb{R}\).
Если \(x < 6\), тогда \(x^2 — 5x + 9 > 6 — x\), \(x^2 — 4x + 3 > 0\), \(D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\), тогда \(x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3\) и \(x_2 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = 1\), \((x — 1)(x — 3) > 0\), \(x < 1\) или \(x > 3\). Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\).

4) \(|4x — 3| > x^2 — 3x + 3\):
Если \(x \ge \frac{3}{4}\), тогда \(4x — 3 \ge x^2 — 3x + 3\), \(x^2 — 7x + 6 \le 0\), \(D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25\), тогда \(x_1 = \frac{7 — \sqrt{25}}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2} = 6\), \((x — 1)(x — 6) \le 0\), \(1 \le x \le 6\).
Если \(x < \frac{3}{4}\), тогда \(3 — 4x \ge x^2 — 3x + 3\), \(x^2 + x \le 0\), \((x + 1)x \le 0\), \(-1 \le x \le 0\). Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; 6]\).

5) \(|3x — 2|x < 1\):
Если \(x \ge \frac{2}{3}\), тогда \((3x — 2)x < 1\), \(3x^2 — 2x — 1 < 0\), \(D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16\), тогда \(x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{6} = -\frac{1}{3}\) и \(x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{6} = \frac{2}{3}\), \((x + \frac{1}{3})(x — \frac{2}{3}) < 0\), \(-\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}\).
Если \(x < \frac{2}{3}\), тогда \((2 — 3x)x < 1\), \(2x — 3x^2 < 1\), \(3x^2 — 2x + 1 > 0\), \(D = 2^2 — 4 \cdot 3 = 4 — 12 = -8\), \(D < 0\) и \(a = 3 > 0\), значит \(x \in \mathbb{R}\). Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3}; 1)\).

6) \(|x — 4|(x + 2) \ge 4x\):
Если \(x \ge 4\), тогда \((x — 4)(x + 2) \ge 4x\), \(x^2 + 2x — 4x — 8 — 4x \ge 0\), \(x^2 — 6x — 8 \ge 0\), \(D = 6^2 + 4 \cdot 8 = 36 + 32 = 68 = 4 \cdot 17\), тогда \(x = \frac{6 + \sqrt{68}}{2} = 3 + \sqrt{17}\) и \(x = \frac{6 — \sqrt{68}}{2} = 3 — \sqrt{17}\), \((x — (3 — \sqrt{17}))(x — (3 + \sqrt{17})) \ge 0\), \(x \le 3 — \sqrt{17}\) или \(x \ge 3 + \sqrt{17}\).
Если \(x < 4\), тогда \((4 — x)(x + 2) \ge 4x\), \(4x + 8 — x^2 — 2x — 4x \ge 0\), \(x^2 + 2x — 8 \le 0\), \(D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36\), тогда \(x_1 = \frac{-2 — \sqrt{36}}{2} = -4\) и \(x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = 2\), \((x + 4)(x — 2) \le 0\), \(-4 \le x \le 2\). Ответ: \(x \in [-4; 2] \cup (3 + \sqrt{17}; +\infty)\).