ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а данное неравенство выполняется при всех действительных значениях х:

1) \(x^2 — 4x + a > 0\);

2) \(x^2+ (a-1)x+1-a-a^2>0\);

3) \((a-1)x^2-(a+1)x+a+1>0\);

4) \((a — 3)x^2 — 2ax + 3a — 6 > 0\)?

1) \(x^2 — 4x + a > 0\); \(D = 4^2 — 4a = 16 — 4a = 4(4 — a)\); Парабола не пересекает ось абсцисс: \(4 — a < 0\); \(a > 4\);
Ветви параболы направлены вверх: \(1 > 0\); Ответ: \(a \in (4; +\infty)\).

2) \(x^2 + (a — 1)x + 1 — a — a^2 \geq 0\); \(D = (a — 1)^2 — 4(1 — a — a^2)\); \(D = a^2 — 2a + 1 — 4 + 4a + 4a^2 = 5a^2 + 2a — 3\); Парабола не пересекает ось абсцисс: \(5a^2 + 2a — 3 \leq 0\); \(D = 2^2 + 4 \cdot 5 \cdot 3 = 4 + 60 = 64\), тогда: \(a_1 = \frac{2 — 8}{2 \cdot 5} = -\frac{1}{5}\) и \(a_2 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{5}{3}\).
\((a + 1)(a — \frac{3}{5}) \geq 0\); \(-1 \leq a \leq \frac{3}{5}\);
Ветви параболы направлены вверх: \(1 > 0\);
Ответ: \(a \in [-1; \frac{3}{5}]\).

3) Решаем неравенство: \((a-1)x^2-(a+1)x+a+1>0\). Для того чтобы квадратичная функция была всегда положительна и ветви параболы направлены вверх, нужно: \((a-1)>0\) и дискриминант \(\!D<0\). Находим дискриминант: \(D=(a+1)^2-4(a-1)(a+1)=(a+1)^2-4(a^2-1)=-3a^2+2a+5\). Условие \(D<0\) эквивалентно \(3a^2-2a-5>0\). Корни: \(a_{1}=\frac{2- \sqrt{64}}{6}=-1\), \(a_{2}=\frac{2+\sqrt{64}}{6}=\frac{5}{3}\). Тогда \(3a^2-2a-5>0\) при \(a<-1\) или \(a>\frac{5}{3}\).

Совместив с \((a-1)>0\Rightarrow a>1\), получаем: \(a>\frac{5}{3}\).

4) \((a — 3)x^2 — 2ax + 3a — 6 > 0\); \(D = (2a)^2 — 4(a — 3)(3a — 6) = 4a^2 — 4(3a^2 — 15a + 18)\); \(D = 4a^2 — 12a^2 + 60a — 72 = -8a^2 + 60a — 72\); Парабола не пересекает ось абсцисс: \(-8a^2 + 60a — 72 < 0 \,|\, (-4)\); \(2a^2 — 15a + 18 > 0\); \(D = 15^2 — 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 — 144 = 81\), тогда: \(a_1 = \frac{15 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2} = 1,5\) и \(a_2 = \frac{15 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3\).
\((a — 1,5)(a — 6) > 0\); \(a < 1,5\), \(a > 6\);
Ветви параболы направлены вверх: \(a — 3 > 0\); \(a > 3\);
Ответ: \(a \in (6; +\infty)\).

При каких значениях параметра a данное неравенство выполняется при всех действительных значениях x:

1) \(x^2 — 4x + a > 0\); \(D = 4^2 — 4a = 16 — 4a = 4(4 — a)\); Парабола не пересекает ось абсцисс: \(4 — a < 0\); \(a > 4\); Ветви параболы направлены вверх: \(1 > 0\); Ответ: \(a \in (4; +\infty)\).

Данное неравенство \(x^2 — 4x + a > 0\) является квадратным неравенством относительно переменной \(x\). Для решения этого неравенства необходимо найти дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(x^2 — 4x + a = 0\). Дискриминант \(D = 4^2 — 4a = 16 — 4a = 4(4 — a)\). Если \(D > 0\), то парабола, соответствующая данному квадратному уравнению, не пересекает ось абсцисс, и неравенство выполняется при всех действительных значениях \(x\). Это происходит, когда \(4 — a < 0\), то есть \(a > 4\). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен 1, что больше 0. Таким образом, ответ: \(a \in (4; +\infty)\).

2) \(x^2 + (a — 1)x + 1 — a — a^2 \geq 0\); \(D = (a — 1)^2 — 4(1 — a — a^2)\); \(D = a^2 — 2a + 1 — 4 + 4a + 4a^2 = 5a^2 + 2a — 3\); Парабола не пересекает ось абсцисс: \(5a^2 + 2a — 3 \leq 0\); \(D = 2^2 + 4 \cdot 5 \cdot 3 = 4 + 60 = 64\), тогда: \(a_1 = \frac{2 — 8}{2 \cdot 5} = -\frac{1}{5}\) и \(a_2 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{5}{3}\). \((a + 1)(a — \frac{3}{5}) \geq 0\); \(-1 \leq a \leq \frac{3}{5}\); Ветви параболы направлены вверх: \(1 > 0\); Ответ: \(a \in [-1; \frac{3}{5}]\).

Рассмотрим неравенство \(x^2 + (a — 1)x + 1 — a — a^2 \geq 0\). Для решения этого неравенства найдем дискриминант \(D\) соответствующего квадратного уравнения \(x^2 + (a — 1)x + 1 — a — a^2 = 0\). Дискриминант \(D = (a — 1)^2 — 4(1 — a — a^2) = a^2 — 2a + 1 — 4 + 4a + 4a^2 = 5a^2 + 2a — 3\). Если \(D \leq 0\), то парабола, соответствующая данному квадратному уравнению, не пересекает ось абсцисс, и неравенство выполняется при всех действительных значениях \(x\). Это происходит, когда \(5a^2 + 2a — 3 \leq 0\). Решая это неравенство, получаем \(-1 \leq a \leq \frac{3}{5}\). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен 1, что больше 0. Таким образом, ответ: \(a \in [-1; \frac{3}{5}]\).

3) Рассматриваем квадратичное неравенство \((a-1)x^2-(a+1)x+a+1>0\). Чтобы выражение было положительным для всех \(x\), требуется, чтобы ветви параболы были направлены вверх и она не пересекала ось абсцисс. Направление ветвей задаёт коэффициент при \(x^2\): условие \((a-1)>0\) эквивалентно \(a>1\). Отсутствие пересечений с осью абсцисс означает, что дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен: \(D<0\). Вычислим дискриминант квадратичной функции \(f(x)=(a-1)x^2-(a+1)x+a+1\): \(D=(a+1)^2-4(a-1)(a+1)\). Раскроем скобки: \((a+1)^2=a^2+2a+1\) и \((a-1)(a+1)=a^2-1\). Получаем \(D=a^2+2a+1-4(a^2-1)=a^2+2a+1-4a^2+4=-3a^2+2a+5\). Требование \(D<0\) переписывается как \(-3a^2+2a+5<0\), то есть \(3a^2-2a-5>0\). Найдём корни квадратичного уравнения \(3a^2-2a-5=0\). По формуле корней: \(a=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot3\cdot(-5)}}{2\cdot3}=\frac{2\pm\sqrt{4+60}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{64}}{6}=\frac{2\pm8}{6}\). Следовательно, \(a_1=\frac{2-8}{6}=-1\) и \(a_2=\frac{2+8}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\). Так как коэффициент при \(a^2\) положителен, неравенство \(3a^2-2a-5>0\) выполняется на внешних интервалах относительно корней: \(a<-1\) или \(a>\frac{5}{3}\).

Объединим это с условием направления ветвей \(a>1\). Пересечение промежутков \(a>1\) и \(a>\frac{5}{3}\) даёт окончательно \(a>\frac{5}{3}\). При таких \(a\) выполняются одновременно две критически важные вещи: коэффициент при \(x^2\) положителен, поэтому парабола открыта вверх, а дискриминант отрицателен, из-за чего вещественных корней нет и график не касается оси абсцисс. Значит, значение трёхчлена положительно для всех \(x\) и исходное неравенство истинно при всех \(x\) именно для таких параметров \(a\).

Ответ: \(a\in\left(\frac{5}{3};+\infty\right)\).

4) \((a — 3)x^2 — 2ax + 3a — 6 > 0\); \(D = (2a)^2 — 4(a — 3)(3a — 6) = 4a^2 — 4(3a^2 — 15a + 18)\); \(D = 4a^2 — 12a^2 + 60a — 72 = -8a^2 + 60a — 72\); Парабола не пересекает ось абсцисс: \(-8a^2 + 60a — 72 < 0 \,|\, (-4)\); \(2a^2 — 15a + 18 > 0\); \(D = 15^2 — 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 — 144 = 81\), тогда: \(a_1 = \frac{15 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2} = 1,5\) и \(a_2 = \frac{15 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3\). \((a — 1,5)(a — 6) > 0\); \(a < 1,5\), \(a > 6\); Ветви параболы направлены вверх: \(a — 3 > 0\); \(a > 3\); Ответ: \(a \in (6; +\infty)\).