ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а не имеет решений неравенство:

1) \(-x^2 + 6x — a > 0\);

2) \(x^2-(a+1)x+3a-5<0\);

3) \(ax^2 + (a-1)x+(a-1)<0\);

4) \((a + 4)x^2 — 2ax + 2a — 6 < 0\)?

1) \(-x^2 + 6x — a > 0\); \(D = 6^2 — 4a = 36 — 4a = 4(9 — a)\); Парабола не пересекает ось абсцисс: \(9 — a \leq 0\); \(a \geq 9\); Ветви параболы направлены вниз: \(-1 < 0\); Ответ: \(a \in [9; +\infty)\).

2) \(x^2 — (a + 1)x + 3a — 5 < 0\); \(D = (a + 1)^2 — 4(3a — 5)\); \(D = a^2 + 2a + 1 — 12a + 20 = a^2 — 10a + 21\); Парабола не пересекает ось абсцисс: \(a^2 — 10a + 21 \leq 0\); \(D = 10^2 — 4 \cdot 21 = 100 — 84 = 16\), тогда: \(a_1 = \frac{10 — 4}{2} = 3\) и \(a_2 = \frac{10 + 4}{2} = 7\); \((a — 3)(a — 7) \leq 0\); \(3 \leq a \leq 7\); Ветви параболы направлены вверх: \(1 > 0\); Ответ: \(a \in [3; 7]\).

3) \(ax^2 + (a — 1)x + (a — 1) < 0\); \(D = (a — 1)^2 — 4a(a — 1)\); \(D = a^2 — 2a + 1 — 4a^2 + 4a = -3a^2 + 2a + 1\); Парабола не пересекает ось абсцисс: \(-3a^2 + 2a + 1 \leq 0\); \(3a^2 — 2a — 1 \geq 0\); \(D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16\), тогда: \(a_1 = \frac{2 — 4}{2 \cdot 3} = -1\) и \(a_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{5}{3}\); \((a + \frac{1}{3})(-1) \geq 0\); \(a \leq -\frac{1}{3}\), \(a \geq 1\); Ветви параболы направлены вверх: \(a > 0\); Ответ: \(a \in [1; +\infty)\).

4) \((a + 4)x^2 — 2ax + 2a — 6 < 0\); \(D = (2a)^2 — 4(a + 4)(2a — 6)\); \(D = 4a^2 — 4(2a^2 + 2a — 24) = 4(-a^2 — 2a + 24)\); Парабола не пересекает ось абсцисс: \(-a^2 — 2a + 24 \leq 0\); \(a^2 + 2a — 24 \geq 0\); \(D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100\), тогда: \(a_1 = \frac{-2 — 10}{2} = -6\) и \(a_2 = \frac{-2 + 10}{2} = 4\); \((a + 6)(a — 4) \geq 0\); \(a \leq -6\), \(a \geq 4\); Ветви параболы направлены вверх: \(a + 4 > 0\); \(a > -4\); Ответ: \(a \in [4; +\infty)\).

1) \(-x^2 + 6x — a > 0\). Для решения этого неравенства необходимо найти дискриминант \(D\) соответствующего квадратного уравнения \(-x^2 + 6x — a = 0\). Дискриминант \(D = 6^2 — 4a = 36 — 4a = 4(9 — a)\). Если \(D \leq 0\), то парабола, соответствующая данному квадратному уравнению, не пересекает ось абсцисс, и неравенство выполняется при всех действительных значениях \(x\). Это происходит, когда \(9 — a \leq 0\), то есть \(a \geq 9\). Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), что меньше 0. Таким образом, ответ: \(a \in [9; +\infty)\).

2) \(x^2 — (a + 1)x + 3a — 5 < 0\). Для решения этого неравенства найдем дискриминант \(D\) соответствующего квадратного уравнения \(x^2 — (a + 1)x + 3a — 5 = 0\). Дискриминант \(D = (a + 1)^2 — 4(3a — 5) = a^2 + 2a + 1 — 12a + 20 = a^2 — 10a + 21\). Если \(D \leq 0\), то парабола, соответствующая данному квадратному уравнению, не пересекает ось абсцисс, и неравенство выполняется при всех действительных значениях \(x\). Это происходит, когда \(a^2 — 10a + 21 \leq 0\). Решая это неравенство, получаем \(3 \leq a \leq 7\). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен 1, что больше 0. Таким образом, ответ: \(a \in [3; 7]\).

3) \(ax^2 + (a — 1)x + (a — 1) < 0\). Для решения этого неравенства найдем дискриминант \(D\) соответствующего квадратного уравнения \(ax^2 + (a — 1)x + (a — 1) = 0\). Дискриминант \(D = (a — 1)^2 — 4a(a — 1) = a^2 — 2a + 1 — 4a^2 + 4a = -3a^2 + 2a + 1\). Если \(D \leq 0\), то парабола, соответствующая данному квадратному уравнению, не пересекает ось абсцисс, и неравенство выполняется при всех действительных значениях \(x\). Это происходит, когда \(-3a^2 + 2a + 1 \leq 0\) или \(3a^2 — 2a — 1 \geq 0\). Решая эти неравенства, получаем \(a \leq -\frac{1}{3}\) или \(a \geq 1\). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(a\), что больше 0 при \(a > 0\). Таким образом, ответ: \(a \in [1; +\infty)\).

4) \((a + 4)x^2 — 2ax + 2a — 6 < 0\). Для решения этого неравенства найдем дискриминант \(D\) соответствующего квадратного уравнения \((a + 4)x^2 — 2ax + 2a — 6 = 0\). Дискриминант \(D = (2a)^2 — 4(a + 4)(2a — 6) = 4a^2 — 4(2a^2 + 2a — 24) = 4(-a^2 — 2a + 24)\). Если \(D \leq 0\), то парабола, соответствующая данному квадратному уравнению, не пересекает ось абсцисс, и неравенство выполняется при всех действительных значениях \(x\). Это происходит, когда \(-a^2 — 2a + 24 \leq 0\) или \(a^2 + 2a — 24 \geq 0\). Решая эти неравенства, получаем \(a \leq -6\) или \(a \geq 4\). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(a + 4\), что больше 0 при \(a > -4\). Таким образом, ответ: \(a \in [4; +\infty)\).