ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а функция \(y = — 4x^2 — 16x + а\) принимает отрицательные значения при всех действительных значениях х?

При каких значениях a функция принимает отрицательные значения при всех действительных значениях x:
y = -4x^2 — 16x + a;
D = 16^2 + 4 · 4 · a = 256 + 16a;

1) Парабола не пересекает ось абсцисс:
256 + 16a < 0,
16 + a < 0,
a < -16;

2) Ветви параболы направлены вниз:
-4 < 0;

Ответ: a ∈ (-∞; -16).

Рассмотрим данную задачу более подробно. Функция \(y = -4x^2 — 16x + a\) является квадратичной функцией, где \(a\) — параметр. Чтобы функция принимала отрицательные значения при всех действительных значениях \(x\), необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Парабола, заданная функцией \(y = -4x^2 — 16x + a\), не пересекает ось абсцисс. Это означает, что дискриминант \(D = 16^2 + 4 \cdot 4 \cdot a = 256 + 16a\) должен быть отрицательным:
\(256 + 16a < 0\)
\(16 + a < 0\)
\(a < -16\)

2. Ветви параболы должны быть направлены вниз, то есть коэффициент при \(x^2\) должен быть отрицательным:
\(-4 < 0\)

Таким образом, для того, чтобы функция \(y = -4x^2 — 16x + a\) принимала отрицательные значения при всех действительных значениях \(x\), необходимо, чтобы параметр \(a\) удовлетворял условию \(a \in (-\infty, -16)\).