ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а неравенство \(ax^2 + (2 — a)x + 3 — — 2а < 0\) имеет единственное решение?

1) Найдем дискриминант:
\(D = 9a^2 — 16a + 4\)

2) Левая часть имеет единственный нуль:
\(9a^2 — 16a + 4 = 0\)
\(D = 16^2 — 4 \cdot 9 \cdot 4 = 256 — 144 = 112 = 16 \cdot 7\), тогда:
\(a = \frac{16 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 9} = \frac{16 \pm 4\sqrt{7}}{18} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{9}\)

3) Ветви параболы направлены вверх:
\(a > 0\)

Ответ: \(\frac{8 — 2\sqrt{7}}{9}, \frac{8 + 2\sqrt{7}}{9}\)

Неравенство задано как \(a x^{2} + (2 — a)x + 3 — 2a < 0\). Чтобы оно имело единственное решение по \(x\), необходимо, чтобы квадратичная функция пересекала ось \(x\) ровно в одной точке, то есть имела единственный корень. Это возможно при двух условиях: вершины ветвей направлены вверх, чтобы множество решений было интервалом, схлопывающимся в одну точку при касании, и дискриминант равен нулю, обеспечивая единственный корень. Коэффициент при \(x^{2}\) равен \(a\), поэтому направление ветвей определяется знаком \(a\): при \(a>0\) парабола направлена вверх. Дискриминант квадратного трёхчлена равен \(D = (2 — a)^{2} — 4 \cdot a \cdot (3 — 2a) = a^{2} — 4a + 4 — 12a + 8a^{2} = 9a^{2} — 16a + 4\). Единственный корень получается при \(D=0\), следовательно нужно решить уравнение \(9a^{2} — 16a + 4 = 0\).

Решим квадратное уравнение относительно \(a\): \(a = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^{2} — 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9} = \frac{16 \pm \sqrt{256 — 144}}{18} = \frac{16 \pm \sqrt{112}}{18}\). Упростим радикал: \(\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}\). Тогда \(a = \frac{16 \pm 4\sqrt{7}}{18} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{9}\). Эти два значения делают дискриминант нулевым, то есть левая часть равенства \(a x^{2} + (2 — a)x + 3 — 2a\) имеет единственный нуль. Чтобы неравенство \(<0\) имело единственное решение, требуется дополнительно \(a>0\), так как при \(a<0\) ветви параболы направлены вниз, и при касании оси \(x\) множество решений было бы пустым слева и справа, а точка касания не удовлетворяла бы \(<0\). Проверим знак найденных параметров: оба значения \(\frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{9}\) положительны, поскольку \(\sqrt{7} \in (2,3)\), значит числители \(8 - 2\sqrt{7}\) и \(8 + 2\sqrt{7}\) положительны, а знаменатель \(9>0\).

Итак, параметры, при которых неравенство имеет единственное решение, равны \(a = \frac{8 — 2\sqrt{7}}{9}\) или \(a = \frac{8 + 2\sqrt{7}}{9}\). В обоих случаях выполняется \(D=0\) и \(a>0\), поэтому график функции касается оси абсцисс в единственной точке, и множество решений представляет собой ровно одну точку. Ответ: \(a \in \left\{ \frac{8 — 2\sqrt{7}}{9}, \frac{8 + 2\sqrt{7}}{9} \right\}\).