ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а неравенство \(ax^2 + (2 — a)x + 3 — — 2а < 0\) имеет единственное решение?

1) Найдем дискриминант:
\(D = 9a^2 — 16a + 4\)

2) Левая часть имеет единственный нуль:
\(9a^2 — 16a + 4 = 0\)
\(D = 16^2 — 4 \cdot 9 \cdot 4 = 256 — 144 = 112 = 16 \cdot 7\), тогда:
\(a = \frac{16 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 9} = \frac{16 \pm 4\sqrt{7}}{18} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{9}\)

3) Ветви параболы направлены вверх:
\(a > 0\)

Ответ: \(\frac{8 — 2\sqrt{7}}{9}, \frac{8 + 2\sqrt{7}}{9}\)

Для решения данного неравенства \(ax^2 + (2 — a)x + 3 — 2a < 0\) необходимо найти значения параметра \(a\), при которых оно имеет единственное решение. Для этого выполним следующие шаги:

1) Найдем дискриминант данного квадратного неравенства:
\(D = (2 — a)^2 — 4a(3 — 2a) = 4 — 4a + a^2 — 12a + 8a^2 = 9a^2 — 16a + 4\)

2) Далее найдем нули левой части неравенства, приравняв ее к нулю:
\(9a^2 — 16a + 4 = 0\)
Решая это квадратное уравнение, получаем:
\(a = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 — 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9} = \frac{16 \pm \sqrt{112}}{18} = \frac{16 \pm 4\sqrt{7}}{18} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{9}\)

3) Так как ветви параболы, соответствующей левой части неравенства, направлены вверх, то значение \(a\) должно быть положительным, то есть \(a > 0\).

Таким образом, при \(a = \frac{8 — 2\sqrt{7}}{9}\) и \(a = \frac{8 + 2\sqrt{7}}{9}\) неравенство \(ax^2 + (2 — a)x + 3 — 2a < 0\) имеет единственное решение.