ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \(x^2 \in [49, \infty)\);

2) \(x^2 > 5\);

3) \(7x^2 \leq 4x\);

4) \(0,9x^2 \leq -27x\).

1) \( x^2 \leq 49 \); \( x^2 — 49 \leq 0 \); \( (x + 7)(x — 7) \leq 0 \); \( -7 \leq x \leq 7 \); Ответ: \( x \in [-7; 7] \).

2) \( x^2 > 5 \); \( x^2 — 5 > 0 \); \( (x + \sqrt{5})(x — \sqrt{5}) > 0 \); \( x < -\sqrt{5} \), \( x > \sqrt{5} \); Ответ: \( x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty) \).

3) \( 7x^2 \leq 4x \); \( 7x^2 — 4x \leq 0 \); \( 7x (x — \frac{4}{7}) \leq 0 \); \( 0 \leq x \leq \frac{4}{7} \); Ответ: \( x \in [0; \frac{4}{7}] \).

4) \( 0,9x^2 < -27x \); \( 0,9x^2 + 27x < 0 \); \( 0,9(x + 30)x < 0 \); \( -30 < x < 0 \); Ответ: \( x \in (-30; 0) \).

1) Рассмотрим неравенство \( x^2 \leq 49 \). Для его решения преобразуем его к виду \( x^2 — 49 \leq 0 \). Это уравнение можно разложить на множители как \( (x + 7)(x — 7) \leq 0 \).

Чтобы найти корни, приравняем выражение к нулю: \( (x + 7)(x — 7) = 0 \), откуда \( x = -7 \) или \( x = 7 \). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -7) \), \( [-7; 7] \) и \( (7; +\infty) \).

Проверим знак выражения \( (x + 7)(x — 7) \) в каждом интервале. В интервале \( (-\infty; -7) \) оба множителя отрицательны, их произведение положительно. В интервале \( (-7; 7) \) множитель \( (x + 7) \) положителен, а \( (x — 7) \) отрицателен, произведение отрицательно. В интервале \( (7; +\infty) \) оба множителя положительны, произведение положительно.

Так как нас интересует область, где произведение меньше или равно нулю, выбираем интервал \( [-7; 7] \), включая точки \( x = -7 \) и \( x = 7 \), где выражение равно нулю. Ответ: \( x \in [-7; 7] \).

2) Рассмотрим неравенство \( x^2 > 5 \). Преобразуем его к виду \( x^2 — 5 > 0 \). Это уравнение раскладывается на множители как \( (x + \sqrt{5})(x — \sqrt{5}) > 0 \).

Найдем корни: \( x = -\sqrt{5} \) или \( x = \sqrt{5} \). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -\sqrt{5}) \), \( (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \) и \( (\sqrt{5}; +\infty) \).

Проверим знак выражения в каждом интервале. В интервале \( (-\infty; -\sqrt{5}) \) оба множителя отрицательны, произведение положительно. В интервале \( (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \) множитель \( (x + \sqrt{5}) \) положителен, а \( (x — \sqrt{5}) \) отрицателен, произведение отрицательно. В интервале \( (\sqrt{5}; +\infty) \) оба множителя положительны, произведение положительно.

Так как нас интересует область, где произведение больше нуля, выбираем интервалы \( (-\infty; -\sqrt{5}) \) и \( (\sqrt{5}; +\infty) \). Ответ: \( x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty) \).

3) Рассмотрим неравенство \( 7x^2 \leq 4x \). Приведем его к стандартному виду: \( 7x^2 — 4x \leq 0 \). Выносим \( x \) за скобки: \( x (7x — 4) \leq 0 \), или \( 7x \left( x — \frac{4}{7} \right) \leq 0 \).

Найдем корни: \( x = 0 \) или \( x = \frac{4}{7} \). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; 0) \), \( [0; \frac{4}{7}] \) и \( (\frac{4}{7}; +\infty) \).

Проверим знак выражения в каждом интервале. В интервале \( (-\infty; 0) \) множитель \( x \) отрицателен, а \( \left( x — \frac{4}{7} \right) \) отрицателен, произведение положительно. В интервале \( (0; \frac{4}{7}) \) множитель \( x \) положителен, а \( \left( x — \frac{4}{7} \right) \) отрицателен, произведение отрицательно. В интервале \( (\frac{4}{7}; +\infty) \) оба множителя положительны, произведение положительно.

Так как нас интересует область, где произведение меньше или равно нулю, выбираем интервал \( [0; \frac{4}{7}] \), включая точки \( x = 0 \) и \( x = \frac{4}{7} \), где выражение равно нулю. Ответ: \( x \in [0; \frac{4}{7}] \).

4) Рассмотрим неравенство \( 0,9x^2 < -27x \). Приведем его к виду \( 0,9x^2 + 27x < 0 \). Выносим общий множитель: \( 0,9x (x + 30) < 0 \).

Найдем корни: \( x = 0 \) или \( x = -30 \). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -30) \), \( (-30; 0) \) и \( (0; +\infty) \).

Проверим знак выражения в каждом интервале. В интервале \( (-\infty; -30) \) множитель \( x \) отрицателен, а \( (x + 30) \) отрицателен, произведение положительно (с учетом коэффициента 0,9, который всегда положителен). В интервале \( (-30; 0) \) множитель \( x \) отрицателен, а \( (x + 30) \) положителен, произведение отрицательно. В интервале \( (0; +\infty) \) оба множителя положительны, произведение положительно.

Так как нас интересует область, где произведение меньше нуля, выбираем интервал \( (-30; 0) \). Ответ: \( x \in (-30; 0) \).