ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для каждого значения параметра а решите систему неравенств:

1) \(x^2 — x -72 < 0, x >a\);

2) \(x^2 — 9x + 8 > 0, x < a\).

Решение системы неравенств:

1) \(x^2 — x — 72 < 0, x > a\)
Первое неравенство:
\(x^2 — x — 72 < 0\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289\), поэтому:
\(x_1 = \frac{1 — 17}{2} = -8\) и \(x_2 = \frac{1 + 17}{2} = 9\)
\((x + 8)(x — 9) < 0\)
\(-8 < x < 9\)

Ответ: если \(a \leq -8\), то \(x \in (-8; 9)\);
если \(-8 < a < 9\), то \(x \in (a; 9)\);
если \(a \geq 9\), то \(x \in \emptyset\).

2) \(x^2 — 9x + 8 > 0, x < a\)
Первое неравенство:
\(x^2 — 9x + 8 > 0\)
\(D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49\), поэтому:
\(x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8\)
\((x — 1)(x — 8) > 0\)

Ответ: если \(a \leq 1\), то \(x \in (-\infty; a)\);
если \(1 \leq a \leq 8\), то \(x \in (-\infty; 1)\);
если \(a > 8\), то \(x \in (-\infty; 1) \cup (8; a)\).

Для решения системы неравенств, начнем с первого неравенства: \(x^2 — x — 72 < 0\). Мы находим дискриминант \(D\) по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -72\). Подставляем значения: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289\). Корни уравнения находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Таким образом, корни равны:

\(x_1 = \frac{1 — 17}{2} = -8\) и \(x_2 = \frac{1 + 17}{2} = 9\).

Теперь мы можем разложить выражение \(x^2 — x — 72\) на множители: \((x + 8)(x — 9) < 0\). Для определения знака произведения, исследуем промежутки, образованные корнями: \((- \infty, -8)\), \((-8, 9)\), и \((9, +\infty)\).

Проверяя знаки на каждом промежутке, получаем, что неравенство выполняется в интервале \(-8 < x < 9\). Теперь учитываем условия \(x > a\). Если \(a \leq -8\), то решение будет \(x \in (-8; 9)\). Если \(-8 < a < 9\), то решение будет \(x \in (a; 9)\). Наконец, если \(a \geq 9\), то решение не существует, и \(x \in \emptyset\).

Теперь рассмотрим второе неравенство: \(x^2 — 9x + 8 > 0\). Сначала находим дискриминант: \(D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49\). Теперь находим корни:

\(x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8\).

Разложим на множители: \((x — 1)(x — 8) > 0\). Аналогично, исследуем знаки на промежутках: \((- \infty, 1)\), \((1, 8)\), и \((8, +\infty)\). Мы находим, что неравенство выполняется в интервалах \((- \infty, 1)\) и \((8, +\infty)\).

Теперь добавляем условие \(x < a\). Если \(a \leq 1\), то решение будет \(x \in (-\infty; a)\). Если \(1 < a \leq 8\), то решение будет \(x \in (-\infty; 1)\). Если \(a > 8\), то решение будет \(x \in (-\infty; 1) \cup (8; a)\). Таким образом, мы получаем полное решение системы неравенств с учетом всех условий.