ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а неравенство \(x^2 — 4x + 3 < 0\) является следствием неравенства \(x^2 — (3a — 1)x + 2a^2 — a < 0\)?

1) Первое неравенство:
\(x^2 — 4x + 3 < 0\)
\(D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\), тогда:
\(x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\)
\((x — 1)(x — 3) < 0\)
\(1 < x < 3\)

2) Второе неравенство:
\(x^2 — (3a — 1)x + 2a^2 — a < 0\)
\(D = (3a — 1)^2 — 4(2a^2 — a) = 9a^2 — 6a + 1 — 8a^2 + 4a\)
\(D = a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2\), тогда:
\(x_1 = \frac{(3a — 1) — (a — 1)}{2} = \frac{2a}{2} = a\)
\(x_2 = \frac{(3a — 1) + (a — 1)}{2} = \frac{4a — 2}{2} = 2a — 1\)
\((x — x_1)(x — x_2) < 0\)
\(x_1 < x < x_2\)

3) Первое неравенство является следствием второго:
\(\{1 \leq a \leq 3\} \Rightarrow \{1 \leq a \leq 3\} \Rightarrow \{1 \leq a \leq 2\}\)

Ответ: a ∈ [1; 2].

Первое неравенство: \(x^2 — 4x + 3 < 0\)
Для решения этого неравенства необходимо найти его корни. Для этого вычислим дискриминант:
\(D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\)
Тогда корни будут равны:
\(x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\)
Неравенство \(x^2 — 4x + 3 < 0\) будет выполняться, когда \(x\) находится между корнями, то есть \(1 < x < 3\).

Второе неравенство: \(x^2 — (3a — 1)x + 2a^2 — a < 0\)
Для решения этого неравенства также необходимо найти его корни. Для этого вычислим дискриминант:
\(D = (3a — 1)^2 — 4(2a^2 — a) = 9a^2 — 6a + 1 — 8a^2 + 4a\)
\(D = a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2\)
Тогда корни будут равны:
\(x_1 = \frac{(3a — 1) — (a — 1)}{2} = \frac{2a}{2} = a\)
\(x_2 = \frac{(3a — 1) + (a — 1)}{2} = \frac{4a — 2}{2} = 2a — 1\)
Неравенство \(x^2 — (3a — 1)x + 2a^2 — a < 0\) будет выполняться, когда \(x\) находится между корнями, то есть \(a < x < 2a — 1\).

Первое неравенство является следствием второго, поскольку \(\{1 \leq a \leq 3\} \Rightarrow \{1 \leq a \leq 3\} \Rightarrow \{1 \leq a \leq 2\}\).

Ответ: \(a \in [1; 2]\).