ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а неравенство \(x^2 + x — 2 < 0\) является следствием неравенства \(x^2 — (2a — 1)x — 3a^2 + a < 0\)?

1) Первое неравенство:
\(x^2 + x — 2 < 0\); \(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\), тогда: \(x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\); \((x + 2)(x — 1) < 0\); \(-2 < x < 1\;

2) Второе неравенство:
\(x^2 — (2a — 1)x — 3a^2 + a < 0\); \(D = (2a — 1)^2 — 4(a — 3a^2) = 4a^2 — 4a + 1 — 4a + 12a^2\); \(D = 16a^2 — 8a + 1 = (4a — 1)^2\), тогда: \(x_1 = \frac{(2a — 1) — (4a — 1)}{2} = -a\); \(x_2 = \frac{(2a — 1) + (4a — 1)}{2} = 3a — 1\); \((x — x_1)(x — x_2) < 0\); \(x_1 < x < x_2\;

3) Первое неравенство — следствие второго:
\(\left\{\begin{aligned}-2 \le 3d \le 1 &\Rightarrow \left\{\begin{aligned}-1 \le a \le 2 \\-\frac{2}{3} \le a \le \frac{2}{3}\end{aligned}\right.\end{aligned}\right.\)

Ответ: \(a \in \left[-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right]\).

Первое неравенство: \(x^2 + x — 2 < 0\)
Решение:
Для решения данного неравенства необходимо найти его корни. Для этого находим дискриминант \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\). Подставляя значения, получаем \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). Далее находим корни уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 1\), \(D = 9\):
\(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 — 3}{2} = -2\)
\(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\)
Таким образом, область решения первого неравенства: \(-2 < x < 1\).

Второе неравенство: \(x^2 — (2a — 1)x — 3a^2 + a < 0\)
Решение:
Для решения данного неравенства также необходимо найти его корни. Для этого находим дискриминант \(D = (2a — 1)^2 — 4(a — 3a^2)\):
\(D = (2a — 1)^2 — 4a + 12a^2 = 4a^2 — 4a + 1 — 4a + 12a^2 = 16a^2 — 8a + 1\)
Далее находим корни уравнения \(x = \frac{-(2a — 1) \pm \sqrt{D}}{2}\):
\(x_1 = \frac{-(2a — 1) — \sqrt{16a^2 — 8a + 1}}{2} = \frac{(2a — 1) — (4a — 1)}{2} = -a\)
\(x_2 = \frac{-(2a — 1) + \sqrt{16a^2 — 8a + 1}}{2} = \frac{(2a — 1) + (4a — 1)}{2} = 3a — 1\)
Таким образом, область решения второго неравенства: \(x_1 < x < x_2\).

Следствие из второго неравенства:
Из второго неравенства следует, что \(-1 \le a \le 2\) и \(-\frac{2}{3} \le a \le \frac{2}{3}\). Пересечение этих двух областей дает \(a \in \left[-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right]\).