ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а из неравенства \(x^2 — x < 0\) следует неравенство \(x^2 — (2a + 3)x + a^2 + 3a < 0\)?

1) Первое неравенство:
\(x^2 — x < 0\)
\(x(x — 1) < 0\)
\(0 < x < 1\)

2) Второе неравенство:
\(x^2 — (2a + 3)x + a^2 + 3a \leq 0\)
\(D = (2a + 3)^2 — 4(a^2 + 3a)\)
\(D = 4a^2 + 12a + 9 — 4a^2 — 12a = 9\), тогда:
\(x_1 = \frac{(2a + 3) — 3}{2} = \frac{2a}{2} = a\)
\(x_2 = \frac{(2a + 3) + 3}{2} = \frac{2a + 6}{2} = a + 3\)
\((x — a)(x — (a + 3)) \leq 0\)
\(a \leq x \leq a + 3\)

3) Второе неравенство — следствие первого:
\(a \leq 0\)
\(a + 3 \geq 1\)
\(a \leq 0\)
\(a \geq -2\)
\(\Rightarrow -2 \leq a \leq 0\)

Ответ: \(a \in [-2; 0]\).

Первое неравенство \(x^2 — x < 0\) можно решить следующим образом: \(x^2 — x < 0\) эквивалентно \(x(x — 1) < 0\). Это неравенство выполняется, когда \(x\) находится между \(0\) и \(1\), то есть \(0 < x < 1\).

Второе неравенство \(x^2 — (2a + 3)x + a^2 + 3a \leq 0\) можно решить, найдя дискриминант \(D\) этого квадратного неравенства: \(D = (2a + 3)^2 — 4(a^2 + 3a) = 9\). Отсюда следует, что корни этого неравенства равны \(x_1 = a\) и \(x_2 = a + 3\). Таким образом, неравенство \((x — a)(x — (a + 3)) \leq 0\) выполняется, когда \(a \leq x \leq a + 3\).

Объединяя оба неравенства, получаем, что \(a \leq 0\) и \(a + 3 \geq 1\), откуда следует, что \(-2 \leq a \leq 0\). Таким образом, ответ: \(a \in [-2; 0]\).