ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а из неравенства \(x^2 + x < 0\) следует неравенство \(x^2 — 2(a — 1)x + a^2 — 2a < 0\)?

Даны два неравенства:
\(x^2+x< 0, x^2-2(a-1)x+a^2-2a\leq 0\);

1) Первое неравенство:
\(x^2 +x<0; (x+1)x<0; -1<x<0\);

2) Второе неравенство:
\(x^2- 2(a-1)x + a^2 -2a \leq 0; D = 4(a — 1)^2 — 4(a^2 — 2a);\)
\( D = 4(a^2 — 2a + 1 — a^2 + 2a) = 4\), тогда:
\(x_1 = \frac{2(a-1) -2}{2} = (a-1)-1 = a-2\);
\(x_2 = \frac{2(a-1)+ 2}{2} =(a-1)+1= a\);
\((x-(a-2))(x-a)\leq 0; a-2\leq x\leq a\);

3) Второе неравенство — следствие первого:
\(\{a-2\leq -1\} \Rightarrow \{a\leq 1 \Rightarrow 0\leq a\leq 1\}\);

Ответ: \(a \in [0; 1]\).

Первое неравенство \(x^2 + x < 0\) можно разложить на множители, что дает \((x + 1)x < 0\). Это неравенство выполняется, когда один из множителей положителен, а другой отрицателен. Рассмотрим два случая:

1. \(x + 1 > 0\) и \(x < 0\), что приводит к \(x > -1\) и \(x < 0\). Таким образом, из этого условия следует, что \(-1 < x < 0\).
2. \(x + 1 < 0\) и \(x > 0\) не может выполняться одновременно, так как \(x\) не может быть одновременно меньше нуля и больше нуля.

Таким образом, решение первого неравенства — это интервал \(-1 < x < 0\).

Теперь перейдем ко второму неравенству \(x^2 — 2(a — 1)x + a^2 — 2a \leq 0\). Для его решения найдем дискриминант \(D\) данного квадратного уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -2(a — 1)\) и \(c = a^2 — 2a\). Подставляя значения, получаем:

\(D = [2(a — 1)]^2 — 4(a^2 — 2a) = 4(a — 1)^2 — 4(a^2 — 2a)=\)
\( = 4(a^2 — 2a + 1 — a^2 + 2a) = 4.\)

Так как дискриминант равен 4, это означает, что уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

\[
x_1 = \frac{2(a — 1) — 2}{2} = a — 2,
\]
\[
x_2 = \frac{2(a — 1) + 2}{2} = a.
\]

Таким образом, корни \(x_1\) и \(x_2\) определяют границы интервала, на котором неравенство выполняется. Поскольку парабола, заданная неравенством, открыта вверх (коэффициент при \(x^2\) положителен), неравенство \(x^2 — 2(a — 1)x + a^2 — 2a \leq 0\) будет выполняться на отрезке между корнями:

\[
a — 2 \leq x \leq a.
\]

Теперь рассмотрим следствие из первых двух неравенств. Мы знаем, что для выполнения обоих неравенств \(x\) должен принадлежать интервалу \(-1 < x < 0\) и одновременно находиться в интервале \([a — 2, a]\). Поэтому, чтобы оба условия были выполнены, необходимо, чтобы:

\[
a — 2 \leq -1 \quad \text{и} \quad 0 \leq a.
\]

Первое неравенство \(a — 2 \leq -1\) можно преобразовать:

\[
a \leq 1.
\]

Второе неравенство \(0 \leq a\) уже определяет нижнюю границу. Таким образом, мы получаем:

\[
0 \leq a \leq 1.
\]

Итак, окончательный ответ:

\(a \in [0; 1]\).