ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а из неравенства \(x^2 + x < 0\) следует неравенство \(x^2 — 2(a — 1)x + a^2 — 2a < 0\)?

Даны два неравенства:
\(x^2+x< 0, x^2-2(a-1)x+a^2-2a\leq 0\);

1) Первое неравенство:
\(x^2 +x<0; (x+1)x<0; -1<x<0\);

2) Второе неравенство:
\(x^2- 2(a-1)x + a^2 -2a \leq 0; D = 4(a — 1)^2 — 4(a^2 — 2a);\)
\( D = 4(a^2 — 2a + 1 — a^2 + 2a) = 4\), тогда:
\(x_1 = \frac{2(a-1) -2}{2} = (a-1)-1 = a-2\);
\(x_2 = \frac{2(a-1)+ 2}{2} =(a-1)+1= a\);
\((x-(a-2))(x-a)\leq 0; a-2\leq x\leq a\);

3) Второе неравенство — следствие первого:
\(\{a-2\leq -1\} \Rightarrow \{a\leq 1 \Rightarrow 0\leq a\leq 1\}\);

Ответ: \(a \in [0; 1]\).

Рассмотрим импликацию: из неравенства \(x^{2}+x<0\) должно следовать неравенство \(x^{2}-2(a-1)x+a^{2}-2a<0\). Первое неравенство приводим к каноническому виду: \(x^{2}+x=x(x+1)\). Корни уравнения \(x^{2}+x=0\) равны \(x_{1}=0\) и \(x_{2}=-1\). Так как коэффициент при \(x^{2}\) положителен, парабола ветвями вверх, следовательно \(x^{2}+x<0\) выполняется на интервале \(-1<x<0\). То есть область истинности посылки импликации есть открытый отрезок \((-1,0)\).

Второе выражение удобно переписать через полный квадрат: \(x^{2}-2(a-1)x+(a^{2}-2a)=x^{2}-2(a-1)x+(a-1)^{2}-1=\)
\(=\bigl(x-(a-1)\bigr)^{2}-1\). Отсюда неравенство эквивалентно \(\bigl(x-(a-1)\bigr)^{2}<1\), то есть \(-1<x-(a-1)<1\). Решая двойное неравенство, получаем \(a-2<x<a\). Таким образом, множество \(S(a)\) решений второго неравенства есть открытый отрезок \((a-2,a)\). Требование следования означает, что вся область \((-1,0)\) должна содержаться в \((a-2,a)\), то есть включение интервала \((-1,0)\subset (a-2,a)\).

Для включения концов обеспечиваем две строгие оценки: левая граница \(-1\) должна быть больше левой границы целевого интервала, то есть \(a-2<-1\), откуда \(a<1\). Правая граница \(0\) должна быть меньше правой границы целевого интервала, то есть \(0<a\). Совместив условия, получаем \(0<a<1\). На границах при \(a=0\) имеем \(S(0)=(-2,0)\), который не содержит весь \((-1,0)\) из-за отсутствия точки \(0\); при \(a=1\) имеем \(S(1)=(-1,1)\), который не содержит весь \((-1,0)\) из-за отсутствия точки \(-1\). Поскольку требуются строгие неравенства, для следования посылки во второе неравенство необходимо и достаточно \(a\in(0,1)\). Если трактовать «следует» как нестрогое покрытие с возможным равенством на концах, то часто компактно указывают ответ \(a\in[0,1]\), но при строгом знаке «меньше» верное условие: \(a\in(0,1)\).