ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(b^2 — 4ac < 0\) и \(a + c > b\). Решите квадратное неравенство \(ax^2+bx+c<0\).

Известно, что: \(b^2 — 4ac < 0, a + c > b\);
Решить неравенство: \(ax^2 + bx + c \le 0\);
1) Левая часть задает функцию: \(f(x) = ax^2 + bx + c\);
2) Функция не имеет нулей: \(D = b^2 — 4ac < 0\); 3) Все значения функции положительны: \(f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = (a + c) - b > 0\);
Ответ: \(x \in \emptyset\).

Рассмотрим квадратное неравенство \(ax^{2}+bx+c<0\) при условиях \(b^{2}-4ac<0\) и \(a+c>b\). Условие \(b^{2}-4ac<0\) означает, что дискриминант соответствующего квадратного трёхчлена отрицателен, следовательно, график функции \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) — парабола — не пересекает ось абсцисс и не имеет действительных корней. Это влечёт, что знак \(f(x)\) постоянен для всех \(x\). Чтобы определить этот постоянный знак, достаточно проверить значение функции в любой точке. Удобно взять \(x=-1\): тогда \(f(-1)=a(-1)^{2}+b(-1)+c=(a+c)-b\). По данному условию \(a+c>b\), следовательно, \(f(-1)>0\), а значит, вся функция положительна для всех \(x\): \(f(x)>0\ \forall x\in\mathbb{R}\). При постоянной положительности трёхчлена неравенство \(ax^{2}+bx+c<0\) не может выполняться ни при каких \(x\). Интуитивно это видно на графике: если ветви параболы направлены вверх (\(a>0\)) и дискриминант отрицателен, вершина находится выше оси \(Ox\), а вся парабола лежит над осью; если \(a<0\), ветви направлены вниз, но при отрицательном дискриминанте парабола целиком лежит ниже оси, однако условие \(a+c>b\) гарантирует положительное значение при \(x=-1\), что несовместимо с \(a<0\). Формально, независимо от знака \(a\), отрицательный дискриминант фиксирует отсутствие смены знака, а проверка в одной точке устанавливает именно положительный знак на всей прямой. Следовательно, множество решений неравенства пусто. Таким образом, при заданных условиях решение неравенства отсутствует: \(x\in\emptyset\). Если переформулировать, то множество всех \(x\), удовлетворяющих \(ax^{2}+bx+c<0\), не содержит ни одного элемента, так как функция \(f(x)\) принимает только положительные значения на всей числовой прямой.