ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение:

1) \(\frac{x^2-(4+3a)x+12a}{\sqrt{x^2 -1}} = 0\);

2) \(\frac{x^2 — 3ax-3a -1}{\sqrt{-x^2+3x-2}} = 0\)?

1) \(x^2 — (4 + 3a)x + 12a = 0\);
Решения уравнения:
\(x^2 — (4 + 3a)x + 12a = 0\); \(D = (4 + 3a)^2 — 4 \cdot 12a = 16 + 24a + 9a^2 — 48a\); \(D = 16 — 24a + 9a^2 = (4 — 3a)^2\), тогда:
\(x_1 = \frac{(4 + 3a) — (4 — 3a)}{2} = \frac{6a}{2} = 3a\);
\(x_2 = \frac{(4 + 3a) + (4 — 3a)}{2} = \frac{8}{2} = 4\);
Область определения: \(x^2 — 1 > 0\); \((x + 1)(x — 1) > 0\); \(x < -1, x > 1\);
Первый корень не существует: \(-1 \leq 3a \leq 1\);
Корни одинаковы: \(3a = \frac{4}{3}\);
Ответ: \(a \in (\emptyset)\).

Рассмотрим уравнение \(x^2 — (4 + 3a)x + 12a = 0\) и определим, при каких значениях параметра \(a\) оно будет иметь единственное решение.

Для этого найдем дискриминант данного квадратного уравнения:
\(D = (4 + 3a)^2 — 4 \cdot 12a = 16 + 24a + 9a^2 — 48a = 16 — 24a + 9a^2=\)
\( = (4 — 3a)^2\)

Теперь рассмотрим возможные случаи:

1. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных действительных корня, которые вычисляются по формуле:
\(x_1 = \frac{(4 + 3a) — \sqrt{(4 + 3a)^2 — 4 \cdot 12a}}{2} = \frac{6a}{2} = 3a\)
\(x_2 = \frac{(4 + 3a) + \sqrt{(4 + 3a)^2 — 4 \cdot 12a}}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

2. Если \(D = 0\), то уравнение имеет единственный действительный корень, который вычисляется по формуле:
\(x = \frac{(4 + 3a)}{2} = 2 + \frac{3a}{2}\)

3. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, для того, чтобы уравнение \(x^2 — (4 + 3a)x + 12a = 0\) имело единственное решение, необходимо, чтобы выполнялось условие \(D = 0\), то есть \((4 — 3a)^2 = 0\). Отсюда следует, что \(a = \frac{4}{3}\).

Ответ: Уравнение \(x^2 — (4 + 3a)x + 12a = 0\) будет иметь единственное решение при \(a = \frac{4}{3}\).