ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение:
1) \(\frac{x^2-(5+2a)x+10a}{\sqrt{x^2-4}} = 0\);
2) \(\frac{x^2 — (2a + 2)x + 6a — 3}{\sqrt{2+x-x^2}} = 0\)?

Вот решение уравнений, представленных в изображении:

1) \(x^2 — (5 + 2a)x + 10a = \sqrt{x^2 — 4}\)
Решения уравнения:
\(x^2 — (5 + 2a)x + 10a = 0\)
\(D = (5 + 2a)^2 — 4 \cdot 10a = 25 + 20a + 4a^2 — 40a\)
\(D = 25 — 20a + 4a^2 = (5 — 2a)^2\), тогда:
\(x_1 = \frac{(5 + 2a) — (5 — 2a)}{2} = 2a\)
\(x_2 = \frac{(5 + 2a) + (5 — 2a)}{2} = 5\)
Область определения: \(x^2 — 4 > 0\), \((x + 2)(x — 2) > 0\), \(x < -2\), \(x > 2\)
Первый корень не существует: \(-2 \leq 2a \leq 2\), \(-1 \leq a \leq 1\)
Корни одинаковы: \(2a = 5\), \(a = 2.5\)
Ответ: \(a \in [-1; 1] \cup (2.5)\)

2) \(\frac{x^2 — (2a + 2)x + 6a — 3}{\sqrt{2+x-x^2}} = 0\)
Решения уравнения:
\(x^2 — (2a + 2)x + 6a — 3 = 0\)
\(D = (2a + 2)^2 — 4(6a — 3) = 4a^2 + 8a + 4 — 24a + 12\)
\(D = 4a^2 — 16a + 16 = (2a — 4)^2\), тогда:
\(x_1 = \frac{(2a + 2) — (2a — 4)}{2} = 3\)
\(x_2 = \frac{(2a + 2) + (2a — 4)}{2} = 2a — 1\)
Область определения: \(2 + x — x^2 > 0\), \(x^2 — x — 2 < 0\) \(D = 1^2 + 4 + 2 = 1 + 8 = 9\), тогда: \(x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = -\frac{1}{2}\) \(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 2\) \((x + 1)(x - 2) < 0\), \(-1 < x < 2\) Второй корень существует: \(-1 < 2a < 3\), \(0 < a < 1.5\) Ответ: \(a \in (0; 1.5)\)

1) Рассмотрим уравнение \(x^2 — (5 + 2a)x + 10a = \sqrt{x^2 — 4}\). Для решения этого уравнения сначала упростим его, приравняв обе стороны к нулю. Мы получаем квадратное уравнение \(x^2 — (5 + 2a)x + 10a = 0\). Далее вычислим дискриминант \(D\) этого уравнения:

\(D = (5 + 2a)^2 — 4 \cdot 10a = 25 + 20a + 4a^2 — 40a = 4a^2 — 20a + 25 =\)
\(= (5 — 2a)^2\)

Так как дискриминант является квадратом, корни уравнения совпадают. Находим корни:

\[
x_1 = \frac{(5 + 2a) — (5 — 2a)}{2} = 2a, \quad x_2 = \frac{(5 + 2a) + (5 — 2a)}{2} = 5
\]

Теперь определим область определения для выражения \(\sqrt{x^2 — 4}\). Условие \(x^2 — 4 > 0\) приводит к неравенству \((x + 2)(x — 2) > 0\), что означает, что \(x < -2\) или \(x > 2\). Теперь рассмотрим первый корень \(2a\). Для его существования необходимо, чтобы \(-2 \leq 2a \leq 2\), что даёт диапазон для \(a\): \(-1 \leq a \leq 1\). Второй корень \(5\) всегда больше 2 и, следовательно, существует для всех \(a\). Условие для одинаковых корней \(2a = 5\) даёт \(a = 2.5\), который не входит в область определения. Таким образом, окончательный ответ: \(a \in [-1; 1] \cup \emptyset\).

2) Теперь рассмотрим второе уравнение \(\frac{x^2 — (2a + 2)x + 6a — 3}{\sqrt{2+x-x^2}} = 0\). Сначала упростим его, приравняв числитель к нулю: \(x^2 — (2a + 2)x + 6a — 3 = 0\). Найдём дискриминант:

\(D = (2a + 2)^2 — 4(6a — 3) = 4a^2 + 8a + 4 — 24a + 12 = 4a^2 — 16a + 16 =\)
\(= (2a — 4)^2\)

Дискриминант также является квадратом, значит, корни совпадают:

\[
x_1 = \frac{(2a + 2) — (2a — 4)}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{(2a + 2) + (2a — 4)}{2} = 2a — 1
\]

Теперь определим область определения для \(\sqrt{2 + x — x^2}\). Условие \(2 + x — x^2 > 0\) эквивалентно неравенству \(x^2 — x — 2 < 0\). Находим корни этого квадратного уравнения: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] Корни будут: \[ x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 2 \] Таким образом, неравенство \((x + 1)(x - 2) < 0\) даёт интервал \(-1 < x < 2\). Теперь проверим второй корень \(2a - 1\): он должен находиться в интервале \(-1 < 2a < 3\), что приводит к \(0 < a < 1.5\). Окончательный ответ: \(a \in (0; 1.5)\).