ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \((a + b + c)(a — b + c) < 0\). Докажите, что \(b^2 > 4ac\).

1) Рассмотрим функцию:
\(f(x) = ax^2 + bx + c\);

2) Значения функции:
\(f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c\);
\(f(-1) = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = a — b + c\);

3) Из условия следует:
\(f(1) \cdot f(-1) = (a + b + c)(a — b + c) < 0\); \(\begin{cases} f(1) > 0 \\ f(-1) < 0 \end{cases} \text{или} \begin{cases} f(1) \leq 0 \\ f(-1) > 0 \end{cases}\)

4) Функция имеет два нуля:
\(D = b^2 — 4ac > 0\);
\(b^2 > 4ac\);

Что и требовалось доказать.

Из условия \((a + b + c)(a — b + c) < 0\) следует, что произведение двух выражений, \(f(1) = a + b + c\) и \(f(-1) = a - b + c\), имеет разные знаки. Это означает, что одно из значений положительно, а другое отрицательно. Рассмотрим два случая: в первом случае \(f(1) > 0\) и \(f(-1) < 0\). Это указывает на то, что парабола, заданная функцией \(f(x) = ax^2 + bx + c\), пересекает ось абсцисс в точке, где \(x = 1\) выше оси, а в точке \(x = -1\) ниже оси. Таким образом, парабола направлена вверх, и её вершина находится ниже оси абсцисс. Во втором случае, когда \(f(1) \leq 0\) и \(f(-1) > 0\), ситуация аналогична, но в этом случае значение функции в точке \(x = 1\) может быть равным нулю или отрицательным, а в точке \(x = -1\) оно положительно. Это также указывает на то, что парабола пересекает ось абсцисс, но в точке, расположенной между \(x = -1\) и \(x = 1\). В обоих случаях функция \(f(x)\) должна иметь два различных корня, чтобы пересекать ось абсцисс дважды, что возможно при условии, что дискриминант \(D\) положителен.

Для того чтобы функция \(f(x)\) имела два различных корня, необходимо, чтобы дискриминант \(D = b^2 — 4ac > 0\). Это условие гарантирует, что парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, что соответствует нашим выводам о знаках значений функции в точках \(x = 1\) и \(x = -1\). Таким образом, мы приходим к выводу, что для выполнения условия \((a + b + c)(a — b + c) < 0\) необходимо, чтобы была выполнена не только неравенство для значений функции, но и условие о наличии двух различных корней, что подтверждается неравенством \(b^2 > 4ac\).