ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \(x^2 > 1\);

2) \(x^2 < 3\);

3) \(-3x^2 \geq -12x\);

4) \(-2x^2 < -128\).

1) \( x^2 > 1 \); \( x^2 — 1 > 0 \); \( (x + 1)(x — 1) > 0 \); \( x < -1, x > 1 \); Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \).

2) \( x^2 < 3 \); \( x^2 — 3 < 0 \); \( (x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3}) < 0 \); \( -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} \); Ответ: \( x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \).

3) \( -3x^2 \geq -12x \); \( 3x^2 — 12x \leq 0 \); \( 3x(x — 4) \leq 0 \); \( 0 \leq x \leq 4 \); Ответ: \( x \in [0; 4] \).

4) \( -2x^2 < -128 \); \( 2x^2 — 128 > 0 \); \( x^2 > 64 \); \( (x + 8)(x — 8) > 0 \); \( x < -8, x > 8 \); Ответ: \( x \in (-\infty; -8) \cup (8; +\infty) \).

1) Рассмотрим неравенство \( x^2 > 1 \). Это неравенство можно переписать в виде \( x^2 — 1 > 0 \). Далее, мы можем разложить его на множители: \( (x + 1)(x — 1) > 0 \). Теперь определим, при каких значениях \( x \) произведение \( (x + 1)(x — 1) \) больше нуля. Для этого найдем корни: \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Разделим числовую ось на интервалы: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \), и \( (1, +\infty) \). Проверим знаки в каждом интервале.

В интервале \( (-\infty, -1) \) оба множителя \( (x + 1) < 0 \) и \( (x — 1) < 0 \), следовательно, их произведение положительно. В интервале \( (-1, 1) \) первый множитель \( (x + 1) > 0 \), а второй \( (x — 1) < 0 \), следовательно, произведение отрицательно. В интервале \( (1, +\infty) \) оба множителя положительны. Таким образом, решение неравенства: \( x < -1 \) или \( x > 1 \). Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \).

2) Теперь рассмотрим неравенство \( x^2 < 3 \). Это неравенство можно переписать как \( x^2 — 3 < 0 \). Разложим на множители: \( (x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3}) < 0 \). Найдем корни: \( x = -\sqrt{3} \) и \( x = \sqrt{3} \). Разделим числовую ось на интервалы: \( (-\infty, -\sqrt{3}) \), \( (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \), и \( (\sqrt{3}, +\infty) \). Проверим знаки в каждом интервале.

В интервале \( (-\infty, -\sqrt{3}) \) оба множителя отрицательны, следовательно, произведение положительно. В интервале \( (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \) первый множитель положителен, а второй отрицателен, следовательно, произведение отрицательно. В интервале \( (\sqrt{3}, +\infty) \) оба множителя положительны, следовательно, произведение положительно. Таким образом, решение неравенства: \( -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} \). Ответ: \( x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \).

3) Рассмотрим неравенство \( -3x^2 \geq -12x \). Перепишем его в виде \( 3x^2 — 12x \leq 0 \). Вынесем общий множитель: \( 3x(x — 4) \leq 0 \). Найдем корни: \( x = 0 \) и \( x = 4 \). Разделим числовую ось на интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 4) \), и \( (4, +\infty) \). Проверим знаки в каждом интервале.

В интервале \( (-\infty, 0) \) оба множителя отрицательны, следовательно, произведение положительно. В интервале \( (0, 4) \) первый множитель положителен, а второй отрицателен, следовательно, произведение отрицательно. В интервале \( (4, +\infty) \) оба множителя положительны, следовательно, произведение положительно. Таким образом, решение неравенства: \( 0 \leq x \leq 4 \). Ответ: \( x \in [0; 4] \).

4) Наконец, рассмотрим неравенство \( -2x^2 < -128 \). Перепишем его в виде \( 2x^2 — 128 > 0 \). Разделим обе стороны на 2: \( x^2 > 64 \). Разложим на множители: \( (x + 8)(x — 8) > 0 \). Найдем корни: \( x = -8 \) и \( x = 8 \). Разделим числовую ось на интервалы: \( (-\infty, -8) \), \( (-8, 8) \), и \( (8, +\infty) \). Проверим знаки в каждом интервале.

В интервале \( (-\infty, -8) \) оба множителя отрицательны, следовательно, произведение положительно. В интервале \( (-8, 8) \) первый множитель отрицателен, а второй положителен, следовательно, произведение отрицательно. В интервале \( (8, +\infty) \) оба множителя положительны, следовательно, произведение положительно. Таким образом, решение неравенства: \( x < -8 \) или \( x > 8 \). Ответ: \( x \in (-\infty; -8) \cup (8; +\infty) \).