ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(x^2 — 8[x] + 7 = 0\).

Решить уравнение: \(x^2 — 8[x] + 7 = 0\);

1) Преобразуем уравнение:
\(x^2 — 8(x — \{x\}) + 7 = 0\); \(x^2 — 8x + 7 = -8\{x\}\);

2) Значения правой части:
\(0 \leq \{x\} < 1\); \(0 \leq 8\{x\} < 8\); \(-8 \leq -8\{x\} \leq 0\)\;

3) Первое неравенство: \(x^2 — 8x + 7 \leq 0\); \(D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36\), тогда: \(x_1 = \frac{8 — \sqrt{36}}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = 7\); \((x — 1)(x — 7) \leq 0\); \(1 \leq x \leq 7\);

4) Второе неравенство: © reshak.ru \(x^2 — 8x + 7 > -8\); \(x^2 — 8x + 15 > 0\); \(D = 8^2 — 4 \cdot 15 = 64 — 60 = 4\), тогда:
\(x_1 = \frac{8 — \sqrt{4}}{2} = 3\) и \(x_2 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2} = 5\);
\((x — 3)(x — 5) > 0\);
\(x < 3\), \(x > 5\);

5) Решения лежат на интервалах:
\(x \in [1; 3) \cup (5; 7]\); \([x] \in \{1; 2; 5; 6; 7\}\);

6) Решения уравнения:
\(x = \pm \sqrt{8[x]} — 7\);
\(x_1 = \pm \sqrt{8 \cdot 1} — 7 = \pm \sqrt{8} — 7 = \pm 1\);
\(x_2 = \pm \sqrt{8 \cdot 2} — 7 = \pm \sqrt{16} — 7 = \pm 3\);
\(x_3 = \pm \sqrt{8 \cdot 5} — 7 = \pm \sqrt{40} — 7 = \pm \sqrt{33}\);
\(x_4 = \pm \sqrt{8 \cdot 6} — 7 = \pm \sqrt{48} — 7 = \pm \sqrt{41}\);
\(x_5 = \pm \sqrt{8 \cdot 7} — 7 = \pm \sqrt{56} — 7 = \pm \sqrt{49} = \pm 7\);

Ответ: 1; \(\sqrt{33}\), \(\sqrt{41}\); 7.

Решим уравнение \(x^2 — 8[x] + 7 = 0\). Начнем с преобразования уравнения. Мы можем выразить \(x\) как сумму целой и дробной частей: \(x = [x] + \{x\}\). Подставим это в уравнение:

\[
x^2 — 8[x] + 7 = 0 \Rightarrow ([x] + \{x\})^2 — 8[x] + 7 = 0.
\]

Раскроем скобки:

\[
[x]^2 + 2[x]\{x\} + \{x\}^2 — 8[x] + 7 = 0.
\]

Теперь выделим целую часть:

\[
[x]^2 — 8[x] + 7 + 2[x]\{x\} + \{x\}^2 = 0.
\]

Далее, учитывая, что \(\{x\}\) — дробная часть, мы можем выразить уравнение следующим образом:

\[
x^2 — 8x + 7 = -8\{x\}.
\]

Теперь рассмотрим значения правой части. Так как \(0 \leq \{x\} < 1\), то:

\[
0 \leq -8\{x\} < 0 \Rightarrow -8 \leq -8\{x\} < 0. \] Теперь решим первое неравенство: \[ x^2 — 8x + 7 \leq 0. \] Вычислим дискриминант: \[ D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36. \] Находим корни уравнения: \[ x_1 = \frac{8 — \sqrt{36}}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = 7. \] Таким образом, неравенство \( (x — 1)(x — 7) \leq 0 \) имеет решение: \[ 1 \leq x \leq 7. \] Теперь решим второе неравенство: \[ x^2 — 8x + 7 > -8 \Rightarrow x^2 — 8x + 15 > 0.
\]

Снова вычислим дискриминант:

\[
D = 8^2 — 4 \cdot 15 = 64 — 60 = 4.
\]

Находим корни:

\[
x_1 = \frac{8 — \sqrt{4}}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2} = 5.
\]

Решение неравенства \( (x — 3)(x — 5) > 0 \) будет:

\[
x < 3 \quad \text{или} \quad x > 5.
\]

Теперь объединяем решения обоих неравенств. Мы имеем:

\[
x \in [1; 3) \cup (5; 7].
\]

Теперь найдем возможные значения для \( [x] \):

\[
[x] \in \{1, 2, 5, 6, 7\}.
\]

Теперь подставим эти значения в уравнение \(x = \pm \sqrt{8[x]} — 7\):

1. Для \([x] = 1\):

\[
x_1 = \pm \sqrt{8 \cdot 1} — 7 = \pm \sqrt{8} — 7 = \pm 2\sqrt{2} — 7.
\]

2. Для \([x] = 2\):

\[
x_2 = \pm \sqrt{8 \cdot 2} — 7 = \pm \sqrt{16} — 7 = \pm 4 — 7 = \pm 3.
\]

3. Для \([x] = 5\):

\[
x_3 = \pm \sqrt{8 \cdot 5} — 7 = \pm \sqrt{40} — 7 = \pm 2\sqrt{10} — 7.
\]

4. Для \([x] = 6\):

\[
x_4 = \pm \sqrt{8 \cdot 6} — 7 = \pm \sqrt{48} — 7 = \pm 4\sqrt{3} — 7.
\]

5. Для \([x] = 7\):

\[
x_5 = \pm \sqrt{8 \cdot 7} — 7 = \pm \sqrt{56} — 7 = \pm 2\sqrt{14} — 7.
\]

Таким образом, окончательные решения уравнения:

\[
x = 1, \quad x = \sqrt{33}, \quad x = \sqrt{41}, \quad x = 7.
\]