ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(x^2 — 6[x] + 5 = 0\).

Решаем уравнение \(x^2-6\lfloor x\rfloor+5=0\). Пусть \(\lfloor x\rfloor=k\in\mathbb{Z}\). Тогда \(x^2-6k+5=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{6k-5}\).

Поскольку \(x\) и \(k\) связаны условием \(k=\lfloor x\rfloor\), требуется \(\pm\sqrt{6k-5}\in[k,k+1)\), а также \(6k-5\ge 0\Rightarrow k\ge 1\).

Проверяем \(k=1,2,3,4,5\). Для \(k=1\): \(x=\pm\sqrt{1}\). Подходит только \(x=1\in[1,2)\). Для \(k=2\): \(x=\pm\sqrt{7}\). Подходит \(x=\sqrt{7}\in[2,3)\). Для \(k=3\): \(x=\pm\sqrt{13}\). Подходит \(x=\sqrt{13}\in[3,4)\). Для \(k=4\): \(x=\pm\sqrt{19}\). Подходит \(x=\sqrt{19}\in[4,5)\). Для \(k=5\): \(x=\pm\sqrt{25}\). Подходит \(x=5\in[5,6)\).

Ответ: \(1,\ \sqrt{7},\ \sqrt{13},\ \sqrt{19},\ 5\).

Решаем уравнение \(x^{2}-6\lfloor x\rfloor+5=0\), учитывая, что в нём одновременно присутствует действительная переменная \(x\) и целая величина \(\lfloor x\rfloor\) — целая часть числа \(x\). Обозначим \(k=\lfloor x\rfloor\), где \(k\in\mathbb{Z}\). Тогда исходное уравнение превращается в квадратное относительно \(x\): \(x^{2}-6k+5=0\). Отсюда выражаем \(x\): \(x=\pm\sqrt{6k-5}\). Чтобы корень был действительным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство \(6k-5\ge 0\), то есть \(k\ge 1\). Кроме того, между \(x\) и \(k\) есть связь по определению целой части: если \(\lfloor x\rfloor=k\), то \(x\in[k,k+1)\). Следовательно, допустимые пары \((x,k)\) должны удовлетворять одновременно двум условиям: \(x=\pm\sqrt{6k-5}\) и \(x\in[k,k+1)\).

Проведём перебор целых \(k\) начиная с \(1\). Для \(k=1\) получаем \(x=\pm\sqrt{6\cdot 1-5}=\pm\sqrt{1}\). Из двух значений подходит только \(x=1\), так как \(1\in[1,2)\), а \(x=-1\notin[1,2)\). Для \(k=2\) имеем \(x=\pm\sqrt{6\cdot 2-5}=\pm\sqrt{7}\). Проверяем попадание в промежуток: \(\sqrt{7}\approx 2.6457\in[2,3)\), тогда как \(-\sqrt{7}\notin[2,3)\); значит, подходит \(x=\sqrt{7}\). Для \(k=3\): \(x=\pm\sqrt{6\cdot 3-5}=\pm\sqrt{13}\) и \(\sqrt{13}\approx 3.6055\in[3,4)\), отрицательное значение снова не годится; берём \(x=\sqrt{13}\). Для \(k=4\): \(x=\pm\sqrt{6\cdot 4-5}=\pm\sqrt{19}\), причём \(\sqrt{19}\approx 4.3589\in[4,5)\); берём \(x=\sqrt{19}\). Для \(k=5\): \(x=\pm\sqrt{6\cdot 5-5}=\pm\sqrt{25}=\pm 5\). Из интервала \(x\in[5,6)\) следует, что подходит только \(x=5\), тогда как \(-5\notin[5,6)\).

Убедимся, что больших \(k\) рассматривать не нужно. Если \(k\ge 6\), то \(x=\pm\sqrt{6k-5}\ge \sqrt{31}>5.5\). Однако для таких \(k\) условие принадлежности \(x\in[k,k+1)\) требует \(x\ge k\ge 6\), а \(\sqrt{6k-5}5\). Следовательно, совпадение \(x=\pm\sqrt{6k-5}\) с интервалом \([k,k+1)\) невозможно для \(k\ge 6\). Аналогично, \(k\le 0\) отвергаются уже условием \(6k-5\ge 0\). Итак, все решения найдены исчерпывающим перебором допустимых \(k\).

Ответ: \(1,\ \sqrt{7},\ \sqrt{13},\ \sqrt{19},\ 5\).