ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(3x^2 — 4x — 2 = 0\). Не решая уравнения, найдите значение выражения \(|x_2 — x_1|\)

Дано уравнение: \(3x^2 — 4x — 2 = 0\)

1) Согласно теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = \frac{4}{3}, \, x_1x_2 = -\frac{2}{3};\)

2) Значение выражения:
\(|x_2 — x_1| = \sqrt{(x_2 — x_1)^2} = \sqrt{x_2^2 — 2x_1x_2 + x_1^2} =\)

\(\sqrt{x_2^2 + 2x_1x_2 + x_1^2 — 4x_1x_2} = \sqrt{(x_2 + x_1)^2 — 4x_1x_2} =\)

\(\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 — 4 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{8}{3}} =\)

\(\sqrt{\frac{16}{9} + \frac{24}{9}} = \sqrt{\frac{40}{9}} = \frac{2\sqrt{10}}{3};\)

Ответ: \(\frac{2\sqrt{10}}{3}\)

Дано квадратное уравнение \(3x^2 — 4x — 2 = 0\). Согласно теореме Виета для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), сумма корней выражается как \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), а произведение корней как \(x_1x_2 = \frac{c}{a}\). В данном случае, \(a = 3\), \(b = -4\), \(c = -2\). Следовательно,

\(x_1 + x_2 = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}, \, x_1x_2 = \frac{-2}{3}.\)

Далее, требуется найти значение выражения \(|x_2 — x_1|\). Раскроем модуль разности корней через квадрат разности:

\(|x_2 — x_1| = \sqrt{(x_2 — x_1)^2}.\)

По формуле квадрата разности имеем:

\((x_2 — x_1)^2 = x_2^2 — 2x_1x_2 + x_1^2.\)

Объединим квадраты корней \(x_2^2\) и \(x_1^2\) через формулу суммы квадратов:

\(x_2^2 + x_1^2 = (x_2 + x_1)^2 — 2x_1x_2.\)

Подставляя это в выражение для \((x_2 — x_1)^2\), получаем:

\((x_2 — x_1)^2 = (x_2 + x_1)^2 — 4x_1x_2.\)

Теперь подставим значения \(x_1 + x_2 = \frac{4}{3}\) и \(x_1x_2 = -\frac{2}{3}\):

\((x_2 — x_1)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 — 4 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right).\)

Вычислим квадрат суммы:

\(\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}.\)

Вычислим произведение:

\(-4 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{3}.\)

Сложим полученные значения:

\((x_2 — x_1)^2 = \frac{16}{9} + \frac{8}{3}.\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{8}{3} = \frac{24}{9}.\)

Следовательно,

\((x_2 — x_1)^2 = \frac{16}{9} + \frac{24}{9} = \frac{40}{9}.\)

Найдем квадратный корень:

\(|x_2 — x_1| = \sqrt{\frac{40}{9}} = \frac{\sqrt{40}}{3}.\)

Упростим корень:

\(\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}.\)

Таким образом,

\(|x_2 — x_1| = \frac{2\sqrt{10}}{3}.\)

Ответ: \(\frac{2\sqrt{10}}{3}\).