ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(2(x^2 + 2) \geq x(x+5)\);

2) \(x — (x+4)(x+5) >-5\);

3) \((6x — 1)(6x + 1) — (12x — 5)(x + 2) < 7- 3x\);

4) \(\frac{x-1}{4} — \frac{2x-3}{2} < \frac{x^2+3x}{8}\).

1) \(2(x^2 + 2) \geq x(x + 5)\); \(2x^2 + 4 \geq x^2 + 5x\); \(x^2 — 5x + 4 \geq 0\); \(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\), тогда: \(x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\); \((x — 1)(x — 4) \geq 0\); \(x \leq 1, x \geq 4\); Ответ: \(x \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)\).

2) \(x — (x + 4)(x + 5) > -5\); \(x — x^2 — 5x — 4x — 20 > -5\); \(x^2 + 8x + 15 < 0\); \(D = 8^2 — 4 \cdot 15 = 64 — 60 = 4\), тогда: \(x_1 = \frac{-8 + 2}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{-8 — 2}{2} = -5\); \((x + 5)(x + 3) \leq 0\); \(-5 < x < -3\); Ответ: \(x \in (-5; -3)\).

3) \((6x — 1)(6x + 1) — (12x — 5)(x + 2) < 7 — 3x\); \((36x^2 — 1) — (12x^2 + 24x — 5x — 10) < 7 — 3x\); \(24x^2 — 16x + 2 < 0 \,|\, 2\); \(12x^2 — 8x + 1 < 0\); \(D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16\), тогда: \(x_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6\) и \(x_2 = \frac{8 — 4}{2} = 2\); \(\left(x — \frac{1}{2}\right)\left(x — \frac{1}{6}\right) < 0\); Ответ: \(x \in \left(\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right)\).

4) \(x — 1 — \frac{2x — 3}{8} — \frac{x^2 + 3x}{8} < \frac{1}{8}\); \(2(x — 1) — 4(2x — 3) < x^2 + 3x\); \(2x — 2 — 8x + 12 < x^2 + 3x\); \(x^2 + 9x — 10 > 0\); \(D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121\), тогда: \(x_1 = \frac{-9 — \sqrt{121}}{2} = -10\) и \(x_2 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2} = 1\); \((x + 10)(x — 1) > 0\); \(x < -10, x > 1\); Ответ: \(x \in (-\infty; -10) \cup (1; +\infty)\).

1) Неравенство \(2(x^2 + 2) \geq x(x + 5)\) можно преобразовать к виду \(2x^2 + 4 \geq x^2 + 5x\), что эквивалентно \(x^2 — 5x + 4 \geq 0\). Дискриминант этого квадратного неравенства \(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\), поэтому корни равны \(x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\). Таким образом, неравенство выполняется при \(x \leq 1\) или \(x \geq 4\), то есть \(x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)\).

2) Неравенство \(x — (x + 4)(x + 5) > -5\) можно преобразовать к виду \(x — x^2 — 5x — 4x — 20 > -5\), что эквивалентно \(x^2 + 8x + 15 < 0\). Дискриминант этого квадратного неравенства \(D = 8^2 — 4 \cdot 15 = 64 — 60 = 4\), поэтому корни равны \(x_1 = \frac{-8 + 2}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{-8 — 2}{2} = -5\). Таким образом, неравенство выполняется при \(-5 < x < -3\), то есть \(x \in (-5, -3)\).

3) Неравенство \((6x — 1)(6x + 1) — (12x — 5)(x + 2) < 7 — 3x\) можно преобразовать к виду \((36x^2 — 1) — (12x^2 + 24x — 5x — 10) < 7 — 3x\), что эквивалентно \(24x^2 — 16x + 2 < 0\). Разделив обе части на 2, получаем \(12x^2 — 8x + 1 < 0\). Дискриминант этого квадратного неравенства \(D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16\), поэтому корни равны \(x_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6\) и \(x_2 = \frac{8 — 4}{2} = 2\). Таким образом, неравенство выполняется при \(\frac{1}{6} < x < \frac{1}{2}\), то есть \(x \in (\frac{1}{6}, \frac{1}{2})\).

4) Уравнение \(x — 1 — \frac{2x — 3}{8} = \frac{x^2 + 3x}{8}\) можно преобразовать к виду \(2(x — 1) — 4(2x — 3) < x^2 + 3x\), что эквивалентно \(2x — 2 — 8x + 12 < x^2 + 3x\). Это неравенство можно переписать как \(x^2 + 9x — 10 > 0\). Дискриминант этого квадратного неравенства \(D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121\), поэтому корни равны \(x_1 = \frac{-9 — 11}{2} = -10\) и \(x_2 = \frac{-9 + 11}{2} = 1\). Таким образом, неравенство выполняется при \(x < -10\) или \(x > 1\), то есть \(x \in (-\infty, -10) \cup (1, \infty)\).