ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(2(x^2 + 2) \geq x(x+5)\);

2) \(x — (x+4)(x+5) >-5\);

3) \((6x — 1)(6x + 1) — (12x — 5)(x + 2) < 7- 3x\);

4) \(\frac{x-1}{4} — \frac{2x-3}{2} < \frac{x^2+3x}{8}\).

1) \(2(x^2 + 2) \geq x(x + 5)\); \(2x^2 + 4 \geq x^2 + 5x\); \(x^2 — 5x + 4 \geq 0\); \(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\), тогда: \(x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\); \((x — 1)(x — 4) \geq 0\); \(x \leq 1, x \geq 4\); Ответ: \(x \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)\).

2) \(x — (x + 4)(x + 5) > -5\); \(x — x^2 — 5x — 4x — 20 > -5\); \(x^2 + 8x + 15 < 0\); \(D = 8^2 — 4 \cdot 15 = 64 — 60 = 4\), тогда: \(x_1 = \frac{-8 + 2}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{-8 — 2}{2} = -5\); \((x + 5)(x + 3) \leq 0\); \(-5 < x < -3\); Ответ: \(x \in (-5; -3)\).

3) \((6x — 1)(6x + 1) — (12x — 5)(x + 2) < 7 — 3x\); \((36x^2 — 1) — (12x^2 + 24x — 5x — 10) < 7 — 3x\); \(24x^2 — 16x + 2 < 0 \,|\, 2\); \(12x^2 — 8x + 1 < 0\); \(D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16\), тогда: \(x_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6\) и \(x_2 = \frac{8 — 4}{2} = 2\); \(\left(x — \frac{1}{2}\right)\left(x — \frac{1}{6}\right) < 0\); Ответ: \(x \in \left(\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right)\).

4) \(x — 1 — \frac{2x — 3}{8} — \frac{x^2 + 3x}{8} < \frac{1}{8}\); \(2(x — 1) — 4(2x — 3) < x^2 + 3x\); \(2x — 2 — 8x + 12 < x^2 + 3x\); \(x^2 + 9x — 10 > 0\); \(D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121\), тогда: \(x_1 = \frac{-9 — \sqrt{121}}{2} = -10\) и \(x_2 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2} = 1\); \((x + 10)(x — 1) > 0\); \(x < -10, x > 1\); Ответ: \(x \in (-\infty; -10) \cup (1; +\infty)\).

Пусть функция \(f(x)\) имеет два нуля \(x=-3\) и \(x=2\). Это означает, что при подстановке этих значений в выражение \(f(x)\) получается ровно \(0\). На числовой прямой точки \(-3\) и \(2\) делят ось на три интервала: \((-\infty;-3)\), \((-3;2)\) и \((2;+\infty)\). Предположим, что знак функции меняется при проходе через каждый нуль (типичный случай для произведения линейных множителей), тогда на крайних интервалах функция положительна, а между нулями отрицательна. Именно поэтому верно \(f(x)>0\) при \(x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\) и \(f(x)<0\) при \(x\in(-3;2)\). Если бы один из нулей имел чётную кратность, знак по соответствующей точке не менялся бы, однако в нашем случае предполагается кратность \(1\) для обеих точек. Модуль функции \(|f(x)|\) всегда принимает неотрицательные значения, поскольку \(|f(x)|=\sqrt{f(x)^{2}}\ge 0\) для любых \(x\). Он равен нулю ровно в тех точках, где \(f(x)=0\), то есть при \(x=-3\) и \(x=2\). На всех остальных значениях аргумента модуль строго положителен: \(|f(x)|>0\) для \(x\in(-\infty;-3)\cup(-3;2)\cup(2;+\infty)\). При этом знак исходной функции внутри интервала \((-3;2)\) отрицателен, но модуль переносит значения в положительную область: если \(f(x)<0\), то \(|f(x)|=-f(x)>0\), а если \(f(x)>0\), то \(|f(x)|=f(x)>0\).

Графически картина такова: в точках \(x=-3\) и \(x=2\) график \(y=f(x)\) пересекает ось абсцисс, меняя знак. На участках \((-\infty;-3)\) и \((2;+\infty)\) график располагается выше оси, что соответствует \(f(x)>0\), а на участке \((-3;2)\) — ниже оси, что соответствует \(f(x)<0\). График \(y=|f(x)|\) совпадает с \(y=f(x)\) там, где \(f(x)\ge 0\), и симметрично отражается относительно оси абсцисс там, где \(f(x)<0\), оставаясь неотрицательным для всех \(x\). Таким образом, множество решений для \(|f(x)|>0\) — это вся числовая ось, кроме точек \(x=-3\) и \(x=2\), а множество решений для \(|f(x)|=0\) состоит ровно из этих двух точек.