ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) \(42 — x^2 -x > 0\);

2) \(2x^2 — 3x — 20 < 0\).

1) \(42 — x^2 — x > 0; x^2 + x — 42 < 0; D = 1^2 + 4 \cdot 42 = 1 + 168 = 169\), тогда: \(x_1 = \frac{-1 — 15}{2} = -7\) и \(x_2 = \frac{1 + 13}{2} = 6\); \((x + 7)(x — 6) < 0; -7 < x < 6\); Ответ: \(-6\).

2) \(2x^2 — 3x — 20 < 0; D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 20 = 9 + 160 = 169\), тогда: \(x_1 = \frac{3 — 13}{4} = -2.5\) и \(x_2 = \frac{3 + 13}{4} = 4\); \((x + 2.5)(x — 4) < 0; -2.5 < x < 4\); Ответ: \(-2\).

В первом неравенстве \(42 — x^{2} — x > 0\) приведём к стандартному виду: \(42 — x^{2} — x > 0 \Rightarrow -x^{2} — x + 42 > 0\). Умножим обе части на \(-1\) (меняем знак неравенства): \(x^{2} + x — 42 < 0\). Находим корни квадратного трёхчлена: дискриминант \(D = 1^{2} + 4 \cdot 42 = 1 + 168 = 169\). Тогда \(x_{1} = \frac{-1 — \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 — 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7\) и \(x_{2} = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6\). Поскольку коэффициент при \(x^{2}\) положительный, парабола направлена вверх, и выражение \(x^{2} + x — 42\) отрицательно между корнями: \((x + 7)(x — 6) < 0 \Rightarrow -7 < x < 6\). Наименьшее целое решение на этом интервале равно \(-6\).

Во втором неравенстве \(2x^{2} — 3x — 20 < 0\) найдём корни: дискриминант \(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 9 + 160 = 169\). Тогда \(x_{1} = \frac{3 — \sqrt{169}}{4} = \frac{3 — 13}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}\) и \(x_{2} = \frac{3 + \sqrt{169}}{4} = \frac{3 + 13}{4} = \frac{16}{4} = 4\). Коэффициент при \(x^{2}\) положительный, поэтому \(2x^{2} — 3x — 20\) отрицательно между корнями: \((x + \frac{5}{2})(x — 4) < 0 \Rightarrow -\frac{5}{2} < x < 4\). Наименьшее целое решение на этом интервале равно \(-2\).

Итого: для первого неравенства множество решений \(x \in (-7, 6)\), наименьшее целое решение \(-6\); для второго неравенства множество решений \(x \in \left(-\frac{5}{2}, 4\right)\), наименьшее целое решение \(-2\).