ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) \(1,5x^2 — 2x — 2 < 0\);

2) \(-2x^2- 15x- 25 \geq 0\).

1) \(1,5x^2 — 2x — 2 < 0 \ | \cdot 2; \ 3x^2 — 4x — 4 < 0; \ D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4=\)
\( = 16 + 48 = 64, \text{ тогда: } \frac{4-8}{6} = -\frac{2}{3}, \ \frac{4+8}{6} = 2; \)
\(\ (x + \frac{2}{3})(x — 2) < 0; \ -\frac{2}{3} < x < 2; \ \text{Ответ: } 1.\)

2) \(-2x^2 — 15x — 25 \geq 0; \ 2x^2 + 15x + 25 \leq 0; \ D = 15^2 — 4 \cdot 2 \cdot 25=\)
\( = 225 — 200 = 25, \text{ тогда: } \frac{-15 — 5}{4} = -5, \ \frac{-15 + 5}{4} = -2,5;\)
\( \ (x + 5)(x + 2,5) \leq 0; \ -5 \leq x \leq -2,5; \ \text{Ответ: } -3.\)

Рассмотрим первое неравенство \(1{,}5x^{2}-2x-2<0\). Удобно умножить на положительное число \(2\), чтобы избавиться от десятичного коэффициента: получаем эквивалентное неравенство \(3x^{2}-4x-4<0\). Найдём корни соответствующего квадратного уравнения \(3x^{2}-4x-4=0\) по дискриминанту: \(D=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\cdot3\cdot(-4)=16+48=64\). Тогда корни равны \(x_{1}=\frac{4- \sqrt{64}}{2\cdot3}=\frac{4-8}{6}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}\) и \(x_{2}=\frac{4+\sqrt{64}}{2\cdot3}=\frac{4+8}{6}=\frac{12}{6}=2\). Поскольку коэффициент при \(x^{2}\) положителен, парабола направлена вверх, и неравенство \(3x^{2}-4x-4<0\) выполняется между корнями: \(-\frac{2}{3}<x<2\). Нас просят найти наибольшее целое решение, следовательно, среди целых чисел, принадлежащих этому промежутку, подходят \(0\) и \(1\); наибольшее из них \(1\). Ответ для первого пункта: \(x=1\).

Перейдём ко второму неравенству \(-2x^{2}-15x-25\ge 0\). Домножим на \(-1\) и изменим направление неравенства: получим эквивалентное \(2x^{2}+15x+25\le 0\). Рассмотрим уравнение \(2x^{2}+15x+25=0\) и вычислим дискриминант: \(D=b^{2}-4ac=15^{2}-4\cdot2\cdot25=225-200=25\). Корни уравнения: \(x_{1}=\frac{-15-\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{-15-5}{4}=\frac{-20}{4}=-5\) и \(x_{2}=\frac{-15+\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{-15+5}{4}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}=-2{,}5\). Так как коэффициент при \(x^{2}\) положителен, выражение \(2x^{2}+15x+25\) неположительно на отрезке между корнями: \(-5\le x\le -2{,}5\). Нас интересует наибольшее целое решение, поэтому из целых значений на этом отрезке подходят \(-5,-4,-3\); наибольшее из них \(-3\). Ответ для второго пункта: \(x=-3\).

Итог: для первого неравенства множество решений есть интервал \(\left(-\frac{2}{3},\,2\right)\), наибольшее целое решение \(1\). Для второго неравенства множество решений есть отрезок \([-5,\,-2{,}5]\), наибольшее целое решение \(-3\). В обоих случаях использовано стандартное разложение квадратного трёхчлена через корни: \(3x^{2}-4x-4=3\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x-2\right)\) и \(2x^{2}+15x+25=2\left(x+5\right)\left(x+2{,}5\right)\), что подтверждает найденные промежутки и целочисленные ответы.