ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Составьте какое-нибудь неравенство, множество решений которого:
1) объединение промежутков \((-\infty, -4) \cup (8, \infty)\);
2) промежуток \([-2, 9]\);
3) состоит из одного числа 7

1) Объединение промежутков \((-\infty; -4)\) и \((8; +\infty)\): \((x+4)(x-8)>0\); \(x^2-8x+4x-32>0\); \(x^2-4x-32 >0\);

2) Промежуток \([-2; 9]\): \((x+2)(x-9)\leq0\); \(x^2-9x+2x-18\leq0\); \(x^2 -7x- 18 \leq0\);

3) Состоит из одного числа 7: \((x-7)^2 \leq0\); \(x^2-14x+ 49 \leq0\);

1) Объединение промежутков \((-\infty; -4)\) и \((8; +\infty)\): \((x+4)(x-8)>0\); \(x^2-8x+4x-32>0\); \(x^2-4x-32 >0\). Это неравенство выполняется для всех значений \(x\), которые находятся левее \(-4\) или правее \(8\). Корни уравнения \(x^2-4x-32 = 0\) находятся по формуле \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{4 \pm 12}{2}\). Получаем \(x_1 = 8\) и \(x_2 = -4\). Таким образом, решением неравенства являются все \(x < -4\) или \(x > 8\).

2) Промежуток \([-2; 9]\): \((x+2)(x-9)\leq0\); \(x^2-9x+2x-18\leq0\); \(x^2 -7x- 18 \leq0\). Это неравенство выполняется для всех значений \(x\), которые находятся между \(-2\) и \(9\), включая границы. Корни уравнения \(x^2 -7x -18 = 0\) находятся по формуле \(x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{7 \pm 11}{2}\). Получаем \(x_1 = 9\) и \(x_2 = -2\). Таким образом, решением неравенства являются все \(x\) такие, что \(-2 \leq x \leq 9\).

3) Состоит из одного числа 7: \((x-7)^2 \leq0\); \(x^2-14x+ 49 \leq0\). Это неравенство выполняется только при \(x = 7\), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, и равен нулю только при \(x = 7\). Корень уравнения \(x^2-14x+49 = 0\) находится по формуле \(x = \frac{14 \pm \sqrt{196 — 196}}{2} = \frac{14 \pm 0}{2} = 7\). Таким образом, решением неравенства является только \(x = 7\).