ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x+1)(x-2)(x+5)>0\)

2) \(x(x-3)(x+2)<0\)

3) \((2x-1)(3-x)(x+1)<0\)

4) \((x-3)(2x+1)(1-5x)(x+4)>0\)

1) \((x+1)(x-2)(x+5)>0\):
Решение: точки разрыва \(x = -5, -1, 2\). Знаки чередуются. Ответ: \(x \in (-5; -1) \cup (2; +\infty)\).

2) \(x(x-3)(x+2)<0\):
Решение: точки разрыва \(x = -2, 0, 3\). Знаки чередуются. Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (0; 3)\).

3) \((2x-1)(3-x)(x+1)<0\):
Решение: точки разрыва \(x = -1, \frac{1}{2}, 3\). Знаки чередуются. Ответ: \(x \in (-1; \frac{1}{2}) \cup (3; +\infty)\).

4) \((x-3)(2x+1)(1-5x)(x+4)>0\):
Решение: точки разрыва \(x = -4, -\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, 3\). Знаки чередуются. Ответ: \(x \in (-4; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{5}; 3)\).

1) \((x+1)(x-2)(x+5)>0\):

Рассмотрим данное неравенство. Для начала определим точки, в которых выражение обращается в ноль. Это корни каждого из множителей:
\((x+1)=0 \Rightarrow x=-1\),
\((x-2)=0 \Rightarrow x=2\),
\((x+5)=0 \Rightarrow x=-5\).

Таким образом, точки разрыва: \(x = -5, -1, 2\). Эти точки делят числовую ось на интервалы: \((- \infty; -5)\), \((-5; -1)\), \((-1; 2)\), \((2; +\infty)\).

Теперь определим знак выражения в каждом из интервалов. Выберем тестовые точки:
— В интервале \((- \infty; -5)\), возьмем \(x = -6\):
\((x+1)(x-2)(x+5) = (-6+1)(-6-2)(-6+5) = (-5)(-8)(-1) = -40\), знак отрицательный.
— В интервале \((-5; -1)\), возьмем \(x = -3\):
\((x+1)(x-2)(x+5) = (-3+1)(-3-2)(-3+5) = (-2)(-5)(2) = 20\), знак положительный.
— В интервале \((-1; 2)\), возьмем \(x = 0\):
\((x+1)(x-2)(x+5) = (0+1)(0-2)(0+5) = (1)(-2)(5) = -10\), знак отрицательный.
— В интервале \((2; +\infty)\), возьмем \(x = 3\):
\((x+1)(x-2)(x+5) = (3+1)(3-2)(3+5) = (4)(1)(8) = 32\), знак положительный.

Таким образом, знак выражения чередуется, и положительные интервалы: \((-5; -1)\) и \((2; +\infty)\). Ответ: \(x \in (-5; -1) \cup (2; +\infty)\).

2) \(x(x-3)(x+2)<0\):

Рассмотрим это неравенство. Корни выражения:
\(x=0\),
\((x-3)=0 \Rightarrow x=3\),
\((x+2)=0 \Rightarrow x=-2\).

Точки разрыва: \(x = -2, 0, 3\). Они делят числовую ось на интервалы: \((- \infty; -2)\), \((-2; 0)\), \((0; 3)\), \((3; +\infty)\).

Определим знак выражения в каждом интервале:
— В интервале \((- \infty; -2)\), возьмем \(x = -3\):
\(x(x-3)(x+2) = (-3)(-3-3)(-3+2) = (-3)(-6)(-1) = -18\), знак отрицательный.
— В интервале \((-2; 0)\), возьмем \(x = -1\):
\(x(x-3)(x+2) = (-1)(-1-3)(-1+2) = (-1)(-4)(1) = 4\), знак положительный.
— В интервале \((0; 3)\), возьмем \(x = 1\):
\(x(x-3)(x+2) = (1)(1-3)(1+2) = (1)(-2)(3) = -6\), знак отрицательный.
— В интервале \((3; +\infty)\), возьмем \(x = 4\):
\(x(x-3)(x+2) = (4)(4-3)(4+2) = (4)(1)(6) = 24\), знак положительный.

Положительные интервалы: \((-2; 0)\) и \((3; +\infty)\). Отрицательные интервалы: \((- \infty; -2)\) и \((0; 3)\). Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (0; 3)\).

3) \((2x-1)(3-x)(x+1)<0\):

Корни выражения:
\((2x-1)=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}\),
\((3-x)=0 \Rightarrow x=3\),
\((x+1)=0 \Rightarrow x=-1\).

Точки разрыва: \(x = -1, \frac{1}{2}, 3\). Интервалы: \((- \infty; -1)\), \((-1; \frac{1}{2})\), \((\frac{1}{2}; 3)\), \((3; +\infty)\).

Определим знак выражения:
— В интервале \((- \infty; -1)\), возьмем \(x = -2\):
\((2x-1)(3-x)(x+1) = (2(-2)-1)(3-(-2))((-2)+1) =\)
\(= (-4-1)(3+2)(-1) = (-5)(5)(-1) = 25\), знак положительный.
— В интервале \((-1; \frac{1}{2})\), возьмем \(x = 0\):
\((2x-1)(3-x)(x+1) = (2(0)-1)(3-0)(0+1) = (-1)(3)(1) = -3\), знак отрицательный.
— В интервале \((\frac{1}{2}; 3)\), возьмем \(x = 2\):
\((2x-1)(3-x)(x+1) = (2(2)-1)(3-2)(2+1) = (4-1)(1)(3) = 9\), знак положительный.
— В интервале \((3; +\infty)\), возьмем \(x = 4\):
\((2x-1)(3-x)(x+1) = (2(4)-1)(3-4)(4+1) = (8-1)(-1)(5) = -35\), знак отрицательный.

Отрицательные интервалы: \((-1; \frac{1}{2})\) и \((3; +\infty)\). Ответ: \(x \in (-1; \frac{1}{2}) \cup (3; +\infty)\).

4) \((x-3)(2x+1)(1-5x)(x+4)>0\):

Корни выражения:
\((x-3)=0 \Rightarrow x=3\),
\((2x+1)=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}\),
\((1-5x)=0 \Rightarrow x=\frac{1}{5}\),
\((x+4)=0 \Rightarrow x=-4\).

Точки разрыва: \(x = -4, -\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, 3\). Интервалы: \((- \infty; -4)\), \((-4; -\frac{1}{2})\), \((- \frac{1}{2}; \frac{1}{5})\), \((\frac{1}{5}; 3)\), \((3; +\infty)\).

Определим знак выражения:
— В интервале \((- \infty; -4)\), возьмем \(x = -5\):
\((x-3)(2x+1)(1-5x)(x+4) = (-5-3)(2(-5)+1)(1-5(-5))((-5)+\)
\(+4) = (-8)(-10+1)(1+25)(-1) = (-8)(-9)(26)(-1) = -1872\), знак отрицательный.
— В интервале \((-4; -\frac{1}{2})\), возьмем \(x = -1\):
\((x-3)(2x+1)(1-5x)(x+4) = (-1-3)(2(-1)+1)(1-5(-1))((-1)+\)
\(+4) = (-4)(-2+1)(1+5)(3) = (-4)(-1)(6)(3) = 72\), знак положительный.
— В интервале \((- \frac{1}{2}; \frac{1}{5})\), возьмем \(x = 0\):
\((x-3)(2x+1)(1-5x)(x+4) = (0-3)(2(0)+1)(1-5(0))(0+4) =\)
\(= (-3)(1)(1)(4) = -12\), знак отрицательный.
— В интервале \((\frac{1}{5}; 3)\), возьмем \(x = 2\):
\((x-3)(2x+1)(1-5x)(x+4) = (2-3)(2(2)+1)(1-5(2))(2+4) =\)
\(= (-1)(4+1)(1-10)(6) = (-1)(5)(-9)(6) = 270\), знак положительный.
— В интервале \((3; +\infty)\), возьмем \(x = 4\):
\((x-3)(2x+1)(1-5x)(x+4) = (4-3)(2(4)+1)(1-5(4))(4+4) =\)
\(= (1)(8+1)(1-20)(8) = (1)(9)(-19)(8) = -1368\), знак отрицательный.

Положительные интервалы: \((-4; -\frac{1}{2})\) и \((\frac{1}{5}; 3)\). Ответ: \(x \in (-4; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{5}; 3)\).