Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \(\frac{5x + 8}{4 — x} < 2\);
2) \(\frac{2}{x + 3} > \frac{1}{x — 1}\);
3) \(\frac{2x + 3}{x^2 + x — 12} < \frac{1}{2}\);
4) \(\frac{x + 7}{x — 5} + \frac{3x + 1}{2} > 0\);
5) \(\frac{2x}{x^2 — 9} < \frac{1}{x + 2}\);
6) \(\frac{1}{x — 2} + \frac{1}{x — 1} > \frac{1}{x}\).
1) \( \frac{5x+8}{4-x} < 2 \)
Приведем к общему знаменателю:
\((5x+8) — 2(4-x) < 0 \)
\(\frac{7x}{4-x} > 0\)
Решаем неравенство:
Знаменатель \(4-x > 0\), отсюда \(x < 4\).
Числитель \(7x > 0\), отсюда \(x > 0\).
Объединяя условия, получаем \(x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)\).
2) \( \frac{2}{x+3} > \frac{1}{x-1} \)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{2(x-1) — (x+3)}{(x+3)(x-1)} > 0\)
\(\frac{x-5}{(x+3)(x-1)} > 0\)
Решаем неравенство:
Корни числителя и знаменателя: \(x = 5, x = -3, x = 1\).
Интервалы: \((-∞, -3), (-3, 1), (1, 5), (5, +∞)\).
Знак на интервалах: \(+, -, +, -\).
Выбираем положительные интервалы: \(x \in (-3; 1) \cup (5; +\infty)\).
3) \( \frac{2x+3}{x^{2}+x-12} < \frac{1}{2} \)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{2(2x+3) — (x^{2}+x-12)}{2(x+4)(x-3)} < 0\)
\(\frac{-x^{2}+3x+18}{2(x+4)(x-3)} < 0\)
Разложим числитель:
\(-x^{2}+3x+18 = -(x+3)(x-6)\).
Итак, неравенство:
\(\frac{-(x+3)(x-6)}{2(x+4)(x-3)} > 0\)
Корни: \(x = -4, x = -3, x = 3, x = 6\).
Интервалы: \((-∞, -4), (-4, -3), (-3, 3), (3, 6), (6, +∞)\).
Знак на интервалах: \(+, -, +, -, +\).
Выбираем положительные интервалы: \(x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 3) \cup (6; +\infty)\).
4) \( \frac{x+7}{x-5} > \frac{3x+1}{2} \)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{2(x+7) — (3x+1)(x-5)}{2(x-5)} > 0\)
\(\frac{3x^{2}-12x+9}{2(x-5)} > 0\)
Разложим числитель:
\(3x^{2}-12x+9 = 3(x-1)(x-3)\).
Итак, неравенство:
\(\frac{3(x-1)(x-3)}{2(x-5)} > 0\)
Корни: \(x = 1, x = 3, x = 5\).
Интервалы: \((-∞, 1), (1, 3), (3, 5), (5, +∞)\).
Знак на интервалах: \(+, -, +, -\).
Выбираем положительные интервалы: \(x \in (1; 3) \cup (5; +\infty)\).
5) \( \frac{2x}{x^{2}-9} < \frac{1}{x+2} \)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{2x(x+2) — (x^{2}-9)}{(x+3)(x-3)(x+2)} < 0\)
\(\frac{x^{2}+4x+9}{(x+3)(x-3)(x+2)} < 0\)
Исследуем числитель:
\(x^{2}+4x+9 = 0\), \(D = 4^{2}-4 \cdot 1 \cdot 9 = 16-36 = -20\), корней нет.
Знаменатель: \(x = -3, x = -2, x = 3\).
Интервалы: \((-∞, -3), (-3, -2), (-2, 3), (3, +∞)\).
Знак на интервалах: \(+, -, +, -\).
Выбираем отрицательные интервалы: \(x \in (-\infty; -3) \cup (-2; 3)\).
6) \( \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} > \frac{1}{x} \)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{x(x-1) + x(x-2) — (x-1)(x-2)}{x(x-1)(x-2)} > 0\)
\(\frac{x^{2}-2}{x(x-1)(x-2)} > 0\)
Разложим числитель:
\(x^{2}-2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\).
Итак, неравенство:
\(\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x(x-1)(x-2)} > 0\)
Корни: \(x = -\sqrt{2}, x = \sqrt{2}, x = 0, x = 1, x = 2\).
Интервалы: \((-∞, -\sqrt{2}), (-\sqrt{2}, 0), (0, 1), (1, \sqrt{2}), (\sqrt{2}, 2), (2, +∞)\).
Знак на интервалах: \(+, -, +, -, +, -\).
Выбираем положительные интервалы: \(x \in (-\sqrt{2}; 0) \cup (1; \sqrt{2}) \cup (2; +\infty)\).
1) \( \frac{5x+8}{4-x} < 2 \)
Начнем с преобразования неравенства. Перенесем \(2\) в левую часть, чтобы получить общий знаменатель:
\(\frac{5x+8}{4-x} — 2 < 0\)
Умножим \(2\) на знаменатель \(4-x\), чтобы привести выражение к общей дроби:
\(\frac{5x+8 — 2(4-x)}{4-x} < 0\)
Раскроем скобки в числителе:
\(\frac{5x+8 — 8 + 2x}{4-x} < 0\)
Приведем подобные члены в числителе:
\(\frac{7x}{4-x} < 0\)
Теперь числитель \(7x\) и знаменатель \(4-x\) должны быть исследованы отдельно. Корни числителя: \(x = 0\). Корни знаменателя: \(x = 4\). Исследуем знаки числителя и знаменателя на интервалах.
Интервалы: \((-∞, 0), (0, 4), (4, +∞)\).
На интервале \((-∞, 0)\): числитель \(7x < 0\), знаменатель \(4-x > 0\), дробь отрицательна.
На интервале \((0, 4)\): числитель \(7x > 0\), знаменатель \(4-x > 0\), дробь положительна.
На интервале \((4, +∞)\): числитель \(7x > 0\), знаменатель \(4-x < 0\), дробь отрицательна.
Выбираем интервалы, где дробь отрицательна:
\(x \in (-∞, 0) \cup (4, +∞)\).
2) \( \frac{2}{x+3} > \frac{1}{x-1} \)
Перенесем все в одну сторону, чтобы получить общий знаменатель:
\(\frac{2}{x+3} — \frac{1}{x-1} > 0\)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{2(x-1) — 1(x+3)}{(x+3)(x-1)} > 0\)
Раскроем скобки в числителе:
\(\frac{2x-2 — x-3}{(x+3)(x-1)} > 0\)
Приведем подобные члены в числителе:
\(\frac{x-5}{(x+3)(x-1)} > 0\)
Теперь числитель \(x-5\) и знаменатель \((x+3)(x-1)\) должны быть исследованы отдельно. Корни числителя: \(x = 5\). Корни знаменателя: \(x = -3, x = 1\). Исследуем знаки числителя и знаменателя на интервалах.
Интервалы: \((-∞, -3), (-3, 1), (1, 5), (5, +∞)\).
На интервале \((-∞, -3)\): числитель \(x-5 < 0\), знаменатель \((x+3)(x-1) < 0\), дробь положительна.
На интервале \((-3, 1)\): числитель \(x-5 < 0\), знаменатель \((x+3)(x-1) > 0\), дробь отрицательна.
На интервале \((1, 5)\): числитель \(x-5 < 0\), знаменатель \((x+3)(x-1) > 0\), дробь положительна.
На интервале \((5, +∞)\): числитель \(x-5 > 0\), знаменатель \((x+3)(x-1) > 0\), дробь отрицательна.
Выбираем интервалы, где дробь положительна:
\(x \in (-3, 1) \cup (5, +∞)\).
3) \( \frac{2x+3}{x^{2}+x-12} < \frac{1}{2} \)
Перенесем все в одну сторону, чтобы получить общий знаменатель:
\(\frac{2x+3}{x^{2}+x-12} — \frac{1}{2} < 0\)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{2(2x+3) — 1(x^{2}+x-12)}{2(x^{2}+x-12)} < 0\)
Раскроем скобки в числителе:
\(\frac{4x+6 — x^{2}-x+12}{2(x^{2}+x-12)} < 0\)
Приведем подобные члены в числителе:
\(\frac{-x^{2}+3x+18}{2(x^{2}+x-12)} < 0\)
Разложим числитель на множители:
\(-x^{2}+3x+18 = -(x+3)(x-6)\).
Разложим знаменатель на множители:
\(x^{2}+x-12 = (x+4)(x-3)\).
Итак, неравенство:
\(\frac{-(x+3)(x-6)}{2(x+4)(x-3)} < 0\)
Корни числителя: \(x = -3, x = 6\). Корни знаменателя: \(x = -4, x = 3\). Исследуем знаки числителя и знаменателя на интервалах.
Интервалы: \((-∞, -4), (-4, -3), (-3, 3), (3, 6), (6, +∞)\).
На интервале \((-∞, -4)\): числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна.
На интервале \((-4, -3)\): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.
На интервале \((-3, 3)\): числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
На интервале \((3, 6)\): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна.
На интервале \((6, +∞)\): числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна.
Выбираем интервалы, где дробь положительна:
\(x \in (-∞, -4) \cup (-3, 3) \cup (6, +∞)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.