ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((3x + 1)(3 — x)(x + 5) \le 0\);

2) \((2x + 1)^2(x — 1)(x — 2) \ge 0\);

3) \(\frac{(x — 3)(5x + 2)(x + 3)}{(x — 1)(x + 4)^2} > 0\);

4) \(\frac{x^5 |3x — 1|(x + 3)}{x — 2} \le 0\);

5) \(\frac{1 — 2x — 3x^2}{3x — x^2 — 5} \ge 0\);

6) \(\frac{5x + 4}{x + 3} \le \frac{x + 2}{1 — x}\).

1) Уравнение: \((3x+1)(3-x)(x+5) \leq 0\).
Нули: \(x = -5, x = -\frac{1}{3}, x = 3\).
Знаки меняются на интервалах: \((- \infty; -5), (-5; -\frac{1}{3}), (-\frac{1}{3}; 3), (3; +\infty)\).
Ответ: \(x \in [-5; -\frac{1}{3}] \cup [3; +\infty)\).

2) Уравнение: \((2x+1)^2(x-1)(x-2) \geq 0\).
Нули: \(x = -\frac{1}{2}, x = 1, x = 2\).
Знаки меняются на интервалах: \((- \infty; -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}; 1), (1; 2), (2; +\infty)\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)\).

3) Уравнение: \(\frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2} \geq 0\).
Нули: \(x = -\frac{2}{5}, x = -4, x = -3, x = 1, x = 3\).
Знаки меняются на интервалах: \((- \infty; -4), (-4; -3), (-3; -\frac{2}{5}), (-\frac{2}{5}; 1), (1; 3), (3; +\infty)\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -3] \cup \left[-\frac{2}{5}; 1\right) \cup [3; +\infty)\).

4) Уравнение: \(\frac{(x+3)^x}{x-2} \leq 0\).
Нули: \(x = -3, x = 0, x = 2\).
Знаки меняются на интервалах: \((- \infty; -3), (-3; 0), (0; 2), (2; +\infty)\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -3] \cup [0; 2)\).

5) Уравнение: \(\frac{1-2x-3x^2}{3x-x^2-5} \geq 0\).
Нули первого числителя: \(x = -1, x = \frac{1}{3}\).
Нули второго знаменателя: \(x = \emptyset\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup \left[\frac{1}{3}; +\infty\right)\).

6) Уравнение: \(\frac{5x+4}{x+3} — \frac{x+2}{1-x} \leq 0\).
Нули: \(x = -3, x = 1\).
Знаки меняются на интервалах: \((- \infty; -3), (-3; 1), (1; +\infty)\).
Ответ: \(x \in (-3; 1)\).

1) Рассмотрим неравенство \((3x+1)(3-x)(x+5) \leq 0\). Найдем корни: \(3x+1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}\), \(3-x = 0 \Rightarrow x = 3\), \(x+5 = 0 \Rightarrow x = -5\). Разобьем числовую прямую на интервалы: \((- \infty; -5), (-5; -\frac{1}{3}), (-\frac{1}{3}; 3), (3; +\infty)\). Определим знаки на каждом интервале, подставляя значения из интервалов в выражение. Знаки чередуются, так как все множители линейные. Учитывая неравенство \(\leq\), решение включает точки, где выражение равно нулю. Ответ: \(x \in [-5; -\frac{1}{3}] \cup [3; +\infty)\).

2) Рассмотрим неравенство \((2x+1)^2(x-1)(x-2) \geq 0\). Найдем корни: \(2x+1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\), \(x-1 = 0 \Rightarrow x = 1\), \(x-2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Разобьем числовую прямую на интервалы: \((- \infty; -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}; 1), (1; 2), (2; +\infty)\). Учитывая, что \((2x+1)^2\) всегда неотрицательно, знак определяется только оставшимися множителями. Проверяем знаки на каждом интервале. Учитывая неравенство \(\geq\), включаем точки, где выражение равно нулю. Ответ: \(x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)\).

3) Рассмотрим неравенство \(\frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2} \geq 0\). Найдем корни числителя: \(x-3 = 0 \Rightarrow x = 3\), \(5x+2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{5}\), \(x+3 = 0 \Rightarrow x = -3\). Найдем корни знаменателя: \(x-1 = 0 \Rightarrow x = 1\), \(x+4 = 0 \Rightarrow x = -4\). Разобьем числовую прямую на интервалы: \((- \infty; -4), (-4; -3), (-3; -\frac{2}{5}), (-\frac{2}{5}; 1), (1; 3), (3; +\infty)\). Проверяем знаки на каждом интервале, учитывая, что в точке \(x = -4\) знаменатель обнуляется, а в точке \(x = -3\) числитель равен нулю. Учитывая неравенство \(\geq\), включаем точки, где выражение равно нулю, и исключаем точки, где знаменатель равен нулю. Ответ: \(x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -3] \cup \left[-\frac{2}{5}; 1\right) \cup [3; +\infty)\).

4) Рассмотрим неравенство \(\frac{(x+3)^x}{x-2} \leq 0\). Найдем корни числителя: \(x+3 = 0 \Rightarrow x = -3\). Знаменатель равен нулю при \(x = 2\). Разобьем числовую прямую на интервалы: \((- \infty; -3), (-3; 2), (2; +\infty)\). Определим знаки на каждом интервале, подставляя значения из интервалов в выражение. Учитывая неравенство \(\leq\), включаем точки, где выражение равно нулю, и исключаем точки, где знаменатель равен нулю. Ответ: \(x \in (-\infty; -3] \cup [0; 2)\).

5) Рассмотрим неравенство \(\frac{1-2x-3x^2}{3x-x^2-5} \geq 0\). Найдем корни числителя: \(1-2x-3x^2 = 0\). Решаем квадратное уравнение: \(3x^2+2x-1 = 0\). Корни: \(x = -1\), \(x = \frac{1}{3}\). Знаменатель \(3x-x^2-5\) не имеет вещественных корней, поэтому он не обнуляется. Разобьем числовую прямую на интервалы: \((- \infty; -1), (-1; \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}; +\infty)\). Проверяем знаки на каждом интервале. Учитывая неравенство \(\geq\), включаем точки, где числитель равен нулю. Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup \left[\frac{1}{3}; +\infty\right)\).

6) Рассмотрим неравенство \(\frac{5x+4}{x+3} — \frac{x+2}{1-x} \leq 0\). Приводим к общему знаменателю: \(\frac{(5x+4)(1-x) — (x+2)(x+3)}{(x+3)(1-x)} \leq 0\). Упростим числитель: \(5x+4 — 5x^2-12x-6 = -5x^2-7x-2\). Найдем корни числителя: \(-5x^2-7x-2 = 0\). Решаем квадратное уравнение. Корни: \(x = -3\), \(x = 1\). Разобьем числовую прямую на интервалы: \((- \infty; -3), (-3; 1), (1; +\infty)\). Проверяем знаки на каждом интервале. Учитывая неравенство \(\leq\), включаем точки, где числитель равен нулю. Ответ: \(x \in (-3; 1)\).