ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x — 3)(x + 2)^2(x — 5) \ge 0\);

2) \(\frac{(2 — x)(4x + 3)}{(x — 3)^3(x + 1)^2} \le 0\);

3) \(\frac{(x + 6)^3(x + 4)(6 — x)^5}{|x + 5|} \ge 0\);

4) \(\frac{20}{x^2 — 7x + 12} + \frac{10}{x — 4} + 1 \ge 0\).

1) \((x — 3)(x + 2)^2(x — 5) \geq 0\)

Корни: \(x = 3\), \(x = -2\), \(x = 5\). Знаки чередуются, учитывая чётность степеней. Решение: \(x \leq 3\), \(x \geq 5\), \(x = -2\).

Ответ: \((-\infty; 3] \cup [5; +\infty)\).

2) \((2 — x)(4x + 3)((x — 3)^3)(x + 1)^2 \leq 0\)

Корни: \(x = -\frac{3}{4}\), \(x = 2\), \(x = 3\), \(x = -1\). Чётные степени не меняют знак. Решение: \(-\frac{3}{4} \leq x \leq 2\), \(x > 3\), \(x \neq -1\).

Ответ: \(\left(-\frac{3}{4}; 2\right] \cup (3; +\infty)\).

3) \((x + 6)^3(x + 4)(6 — x)^5 \geq 0\)

Корни: \(x = -6\), \(x = -4\), \(x = 6\). Знаки чередуются, учитывая чётность степеней. Решение: \(x \leq -6\), \(-4 \leq x \leq 6\).

Ответ: \((- \infty; -6] \cup [-4; 6]\).

4) \(\frac{x^2 — 7x + 12}{x — 4} + \frac{20}{x — 3} + 1 \geq 0\)

Приводим к общему знаменателю: \(\frac{(x^2 — 7x + 12) + 20(x — 3) + 10}{(x — 3)(x — 4)} \geq 0\). Упростим числитель: \(x^2 + 3x + 2\). Корни: \(x = -2\), \(x = -1\), \(x = 3\), \(x = 4\). Знаки чередуются. Решение: \(x \leq -2\), \(-1 \leq x < 3\), \(x > 4\).

Ответ: \((- \infty; -2] \cup [-1; 3) \cup (4; +\infty)\).

1) \((x — 3)(x + 2)^2(x — 5) \geq 0\)

Рассмотрим корни уравнения: \(x = 3\), \(x = -2\), \(x = 5\). Здесь \(x + 2\) имеет чётную степень (\(2\)), а остальные множители — нечётную. Это значит, что знак выражения будет изменяться на корнях нечётной степени и сохраняться на корнях чётной степени.

Рассмотрим промежутки: \((-\infty; -2)\), \((-2; 3)\), \((3; 5)\), \((5; +\infty)\). На каждом из них определяем знак выражения. Для этого подставляем значения из каждого интервала в исходное выражение. Знак чередуется, начиная с положительного на \((-\infty; -2)\). Учитывая нестрогий знак неравенства (\(\geq\)), включаем точки \(x = 3\), \(x = 5\), но не \(x = -2\) (так как в этой точке выражение равно \(0\), но множитель \(x + 2\) в квадрате не изменяет знак).

Ответ: \((-\infty; 3] \cup [5; +\infty)\).

2) \((2 — x)(4x + 3)((x — 3)^3)(x + 1)^2 \leq 0\)

Корни уравнения: \(x = 2\), \(x = -\frac{3}{4}\), \(x = 3\), \(x = -1\). Множитель \(x + 1\) имеет чётную степень (\(2\)), а остальные множители — нечётную. На чётных степенях знак сохраняется, на нечётных — меняется.

Рассматриваем промежутки: \((-\infty; -1)\), \((-1; -\frac{3}{4})\), \((- \frac{3}{4}; 2)\), \((2; 3)\), \((3; +\infty)\). Подставляем значения из каждого интервала в выражение и определяем знак. Учитывая неравенство (\(\leq\)), включаем точки, где выражение равно \(0\), кроме точки \(x = -1\) (так как она соответствует чётной степени).

Ответ: \((- \frac{3}{4}; 2] \cup (3; +\infty)\).

3) \((x + 6)^3(x + 4)(6 — x)^5 \geq 0\)

Корни уравнения: \(x = -6\), \(x = -4\), \(x = 6\). Множитель \(x + 6\) имеет нечётную степень (\(3\)), \(x + 4\) — нечётную (\(1\)), \(6 — x\) — нечётную (\(5\)). На всех нечётных степенях знак меняется.

Рассматриваем промежутки: \((-\infty; -6)\), \((-6; -4)\), \((-4; 6)\), \((6; +\infty)\). Определяем знак выражения на каждом из интервалов, подставляя значения. Учитывая знак неравенства (\(\geq\)), включаем точки, где выражение равно \(0\).

Ответ: \((-\infty; -6] \cup [-4; 6]\).

4) \(\frac{x^2 — 7x + 12}{x — 4} + \frac{20}{x — 3} + 1 \geq 0\)

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{(x^2 — 7x + 12) + 20(x — 3) + 10}{(x — 3)(x — 4)} \geq 0\).

Упростим числитель:

\(x^2 + 3x + 2\), который разлагается на множители:

\((x + 2)(x + 1)\).

Корни числителя: \(x = -2\), \(x = -1\). Корни знаменателя: \(x = 3\), \(x = 4\).

Рассматриваем промежутки: \((-\infty; -2)\), \((-2; -1)\), \((-1; 3)\), \((3; 4)\), \((4; +\infty)\). Определяем знак выражения на каждом из интервалов, подставляя значения. Учитывая знак неравенства (\(\geq\)), включаем точки, где числитель равен \(0\), но исключаем точки, где знаменатель равен \(0\) (\(x = 3\), \(x = 4\)).

Ответ: \((-\infty; -2] \cup [-1; 3) \cup (4; +\infty)\).