ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x — 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \ge 0\);

2) \(\frac{4x^2 — 4x + 1}{x^2 + x — 12} > 0\);

3) \(\frac{x^3 — 3x + 2}{6 — x} \le 0\);

4) \(\frac{|x|(x + 1)^3}{|x — 4|^3(x + 3)} \le 0\).

1) Решаем неравенство, учитывая нули каждого множителя: \(x-5=0\), \(x+4=0\), \(x^2+6x+9=0\). Корни: \(x=5\), \(x=-4\), \(x=-3\) (последний из квадратного трёхчлена). Анализируем знаки на промежутках: \(x \in (-\infty; -4] \cup \{-3\} \cup [5; +\infty)\).

2) Разделяем дробь на множители: числитель \(4x^2-4x+1=0\) даёт \(x=\frac{1}{2}\), знаменатель \(x^2+x-12=0\) даёт \(x=-4\) и \(x=3\). Анализируем знаки: \(x \in (-\infty; -4) \cup \{\frac{1}{2}\} \cup (3; +\infty)\).

3) Разделяем дробь: числитель \(x^3-3x+2=0\) даёт \(x=-2, x=1\), знаменатель \(x-6=0\) даёт \(x=6\). Анализируем знаки: \(x \in (-\infty; -2] \cup \{1\} \cup (6; +\infty)\).

4) Учитываем модуль и множители: \(x=-3, x=-1, x=0, x=4\). Анализируем знаки: \(x \in (-3; -1] \cup \{0\}\).

1) Рассмотрим уравнение \((x-5)(x+4)(x^2+6x+9) \geq 0\). Найдем нули каждого множителя. Для первого множителя \(x-5=0\), получаем \(x=5\). Для второго множителя \(x+4=0\), получаем \(x=-4\). Для третьего множителя \(x^2+6x+9=0\), решаем квадратное уравнение: \((x+3)^2=0\), получаем \(x=-3\) (кратный корень). Наносим точки \(-4\), \(-3\), \(5\) на числовую прямую и определяем знаки на промежутках. Знаки чередуются, учитывая, что при \(x=-3\) знак не меняется (кратный корень). Решение: \(x \in (-\infty; -4] \cup \{-3\} \cup [5; +\infty)\).

2) Рассмотрим дробь \(\frac{4x^2-4x+1}{x^2+x-12} > 0\). Найдем нули числителя и знаменателя. Числитель: \(4x^2-4x+1=0\), решаем квадратное уравнение: \((2x-1)^2=0\), получаем \(x=\frac{1}{2}\). Знаменатель: \(x^2+x-12=0\), решаем квадратное уравнение: \((x+4)(x-3)=0\), получаем \(x=-4\) и \(x=3\). Наносим точки \(-4\), \(\frac{1}{2}\), \(3\) на числовую прямую и определяем знаки на промежутках. Знаки чередуются. Решение: \(x \in (-\infty; -4) \cup \{\frac{1}{2}\} \cup (3; +\infty)\).

3) Рассмотрим дробь \(\frac{x^3-3x+2}{x-6} \leq 0\). Найдем нули числителя и знаменателя. Числитель: \(x^3-3x+2=0\), разложим на множители: \((x+2)(x-1)(x-1)=0\), получаем \(x=-2\) и \(x=1\) (кратный корень). Знаменатель: \(x-6=0\), получаем \(x=6\). Наносим точки \(-2\), \(1\), \(6\) на числовую прямую и определяем знаки на промежутках. Учитываем, что при \(x=1\) знак не меняется (кратный корень). Решение: \(x \in (-\infty; -2] \cup \{1\} \cup (6; +\infty)\).

4) Рассмотрим неравенство \(|x+2|(x^2-3x) \geq 0\). Учитываем, что модуль \(|x+2|\) равен нулю при \(x=-2\), а квадратный множитель \(x^2-3x=x(x-3)\) равен нулю при \(x=0\) и \(x=3\). Наносим точки \(-2\), \(0\), \(3\) на числовую прямую и определяем знаки на промежутках. Учитываем, что модуль всегда неотрицателен. Решение: \(x \in (-3; -1] \cup \{0\}\).