ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x^2 — 4)(x^2 + x — 2) \le 0\);

2) \((x^3 — 4x)(x^2 + 2x — 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0\);

3) \(\frac{(x^2 — 10x + 21)(x^2 — 6x — 7)}{(x^2 + 5x + 6)(x^2 — 4)} \le 0\);

4) \(\frac{|x — 5|^5 |x — 2|}{(1 — x)^3(x + 4)} < 0\).

1) Факторизуем: \((x^2-4)(x^2+x-2)\le 0\Rightarrow (x-2)(x+2)(x-1)(x+2)\le 0\Rightarrow (x+2)^2(x-1)(x-2)\le 0\).

Так как \((x+2)^2\ge 0\) и обращается в ноль при \(x=-2\), знак выражения определяется произведением \((x-1)(x-2)\). Корни: \(x=1\) и \(x=2\). Знаки на промежутках: для \(x<1\) произведение положительно, для \(1\le x\le 2\) неположительно, для \(x>2\) положительно. Точка \(x=-2\) даёт ноль из-за квадрата.

Ответ: \(x\in\{-2\}\cup[1;2]\).

2) Решаем \( (x^3 — 4x)(x^2 + 2x — 8)(x^2 + 7x + 10) \leq 0 \).
Корни первого множителя: \( x^3 — 4x = x(x — 2)(x + 2) \), \( x = 0, x = 2, x = -2 \).
Корни второго множителя: \( x^2 + 2x — 8 = 0 \), \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 \), \( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \).
Корни третьего множителя: \( x^2 + 7x + 10 = 0 \), \( D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 \), \( x_1 = \frac{-7 — 3}{2} = -5, x_2 = \frac{-7 + 3}{2} = -2 \).
Знаки определяем через интервал: \( x \in (-\infty; -5] \cup [-4; 0] \cup \{2\} \).

3) Решаем \( (x^2 — 10x + 21)(x^2 — 6x — 7)(x^2 + 5x + 6) \leq 0 \).
Корни первого множителя: \( x^2 — 10x + 21 = 0 \), \( D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 21 = 16 \), \( x_1 = \frac{10 — 4}{2} = 3, x_2 = \frac{10 + 4}{2} = 7 \).
Корни второго множителя: \( x^2 — 6x — 7 = 0 \), \( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 64 \), \( x_1 = \frac{6 — 8}{2} = -1, x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7 \).
Корни третьего множителя: \( x^2 + 5x + 6 = 0 \), \( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 \), \( x_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3, x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \).
Знаки определяем через интервал: \( x \in (-3; -2) \cup (-2; -1] \cup (2; 3] \cup \{7\} \).

4) Решаем \( \frac{|x — 5|^5 |x — 2|}{(x + 4)^3 (x — 1)} \leq 0 \).
Корни: \( x — 5 = 0, x — 2 = 0, x + 4 = 0, x — 1 = 0 \), \( x = 5, x = 2, x = -4, x = 1 \).
Знаки определяем через интервал: \( x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty) \).

1)

Начинаем с полного разложения на множители: \((x^2-4)(x^2+x-2)\le 0\). Замечаем, что \((x^2-4)=(x-2)(x+2)\), а \((x^2+x-2)\) раскладывается как \((x-1)(x+2)\), поскольку корни квадратного трёхчлена находятся из уравнения \(x^2+x-2=0\): дискриминант \(D=1+8=9\), следовательно, \(x_{1}=\frac{-1-3}{2}=-2\) и \(x_{2}=\frac{-1+3}{2}=1\). Тогда исходное выражение переписывается как \((x-2)(x+2)(x-1)(x+2)\le 0\), что даёт \((x+2)^{2}(x-1)(x-2)\le 0\).

Теперь анализируем влияние каждого множителя на знак. Квадрат \((x+2)^{2}\ge 0\) для всех \(x\) и обращается в ноль при \(x=-2\); он не меняет знак произведения, но добавляет нулевое значение в точке \(x=-2\). Следовательно, знак всего выражения определяется произведением \((x-1)(x-2)\), а точки, где возможна смена знака, это \(x=1\) и \(x=2\). Рассмотрим интервалы: для \(x<1\) оба множителя \((x-1)\) и \((x-2)\) отрицательны, их произведение положительно; для \(1<x<2\) первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно; для \(x>2\) оба множителя положительны, произведение положительно. На границах \(x=1\) и \(x=2\) произведение равно нулю, поскольку один из множителей обращается в ноль, а \((x+2)^{2}\) остаётся неотрицательным.

Учитывая условие \(\le 0\), нам подходят все \(x\), где произведение неположительно: интервал, где оно отрицательно, то есть \(1<x<2\), а также точки, где выражение равно нулю: \(x=1\), \(x=2\) и дополнительно \(x=-2\) из-за квадрата \((x+2)^{2}\). Объединяя эти значения, получаем множество решений \(x\in\{-2\}\cup[1;2]\).

2) Рассмотрим неравенство \( (x^3 — 4x)(x^2 + 2x — 8)(x^2 + 7x + 10) \leq 0 \).
Первый множитель \( x^3 — 4x \) раскладывается: \( x^3 — 4x = x(x — 2)(x + 2) \). Корни: \( x = 0, x = 2, x = -2 \).
Второй множитель \( x^2 + 2x — 8 \) решаем через дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 \). Корни:
\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \), \( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \).
Третий множитель \( x^2 + 7x + 10 \) решаем через дискриминант: \( D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 \). Корни:
\( x_1 = \frac{-7 — 3}{2} = -5 \), \( x_2 = \frac{-7 + 3}{2} = -2 \).
Учитывая множители и их знаки на промежутках, получаем решение: \( x \in (-\infty; -5] \cup [-4; 0] \cup \{2\} \).

3) Рассмотрим неравенство \( (x^2 — 10x + 21)(x^2 — 6x — 7)(x^2 + 5x + 6) \leq 0 \).
Первый множитель \( x^2 — 10x + 21 \) решаем через дискриминант: \( D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 21 = 16 \). Корни:
\( x_1 = \frac{10 — 4}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{10 + 4}{2} = 7 \).
Второй множитель \( x^2 — 6x — 7 \) решаем через дискриминант: \( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 64 \). Корни:
\( x_1 = \frac{6 — 8}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7 \).
Третий множитель \( x^2 + 5x + 6 \) решаем через дискриминант: \( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 \). Корни:
\( x_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \).
Учитывая множители и их знаки на промежутках, получаем решение: \( x \in (-3; -2) \cup (-2; -1] \cup (2; 3] \cup \{7\} \).

4) Рассмотрим неравенство \( \frac{|x — 5|^5 |x — 2|}{(x + 4)^3 (x — 1)} \leq 0 \).
Рассматриваем точки, где числитель и знаменатель равны нулю: \( x — 5 = 0, x — 2 = 0, x + 4 = 0, x — 1 = 0 \). Корни: \( x = 5, x = 2, x = -4, x = 1 \).
Так как модуль \( |x — 5| \) и \( |x — 2| \) всегда неотрицательны, числитель равен 0 только в точках \( x = 5 \) и \( x = 2 \).
Знаменатель меняет знак при \( x = -4 \) и \( x = 1 \). Решение определяется знаками дроби на интервалах: \( x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty) \).