ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство \(\left|\frac{x + 2}{x}\right|(x^2 — 4x — 5) \le 0\).

\(x^2-4x-5\leq0\)

\(D=4^2+4\cdot5=36\)

\(x_1=\frac{-4-6}{2}=-1, x_2=\frac{-4+6}{2}=5\)

\((x+1)(x-5)\leq0 \Rightarrow -1\leq x\leq5\)

\(x+2=0 \Rightarrow x=-2\)

Область определения: \(x\neq0\)

\(x\in\{-2\}\cup[-1;0)\cup(0;5]\)

Для решения неравенства \(\frac{|x+2|}{x}(x^2-4x-5)\leq0\) необходимо учитывать несколько условий.

Сначала рассмотрим квадратное выражение \(x^2-4x-5\). Найдем его корни, используя формулу дискриминанта. Дискриминант равен \(D=4^2+4\cdot5=16+20=36\). Тогда корни уравнения:

\(x_1=\frac{-4-6}{2}=-1, \quad x_2=\frac{-4+6}{2}=5\).

Рассмотрим знак выражения \((x+1)(x-5)\). Оно меняет знак в точках \(x=-1\) и \(x=5\). При раскрытии скобок видно, что на промежутке \(-1\leq x\leq 5\) выражение \((x+1)(x-5)\leq0\).

Теперь рассмотрим модуль \(|x+2|\). Условие \(x+2=0\) дает корень \(x=-2\). При этом модуль учитывается отдельно, так как он влияет на знак всего выражения.

Область определения выражения задается условием \(x\neq0\), потому что дробь \(\frac{|x+2|}{x}\) не определена при \(x=0\).

Объединяя все результаты, получаем, что \(x\) принадлежит следующим промежуткам:

\(\{-2\}\cup[-1;0)\cup(0;5]\).