ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство \(\left|\frac{x — 5}{x}\right|(x^2 — x — 12) \le 0\).

Область определения: \(x \neq 0\).

Решение квадратного неравенства: \(x^2 — x — 12 \leq 0\).

Дискриминант: \(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 49\).

Корни: \(x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 4\).

Разложение: \((x + 3)(x — 4) \leq 0\).

Интервал: \(-3 \leq x \leq 4\).

Также является решением: \(x — 5 = 0 \Rightarrow x = 5\).

Ответ: \(x \in [-3; 0) \cup (0; 4] \cup \{5\}\).

Область определения выражения задается условием \(x \neq 0\), так как в знаменателе присутствует переменная \(x\). Следовательно, \(x = 0\) исключается из области допустимых значений.

Рассмотрим квадратное неравенство \(x^2 — x — 12 \leq 0\). Для его решения найдем дискриминант: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\). Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле Виета: \(x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 7}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4\). Разложим квадратный трехчлен на множители: \(x^2 — x — 12 = (x + 3)(x — 4)\). Решение неравенства \((x + 3)(x — 4) \leq 0\) соответствует промежутку \(-3 \leq x \leq 4\).

Кроме того, необходимо учесть выражение \(\frac{x — 5}{x}\). При \(x — 5 = 0\) получаем \(x = 5\). Точка \(x = 5\) включается в решение, так как при подстановке в исходное выражение неравенство выполняется.

Совмещая область определения \(x \neq 0\), решение квадратного неравенства \(-3 \leq x \leq 4\), а также точку \(x = 5\), окончательное решение записывается в виде объединения множеств: \(x \in [-3; 0) \cup (0; 4] \cup \{5\}\).