ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x — 3)\sqrt{14 + 5x — x^2} > 0\);

2) \((x — 3)\sqrt{14 + 5x — x^2} \ge 0\);

3) \((x — 3)\sqrt{14 + 5x — x^2} < 0\);

4) \((x — 3)\sqrt{14 + 5x — x^2} \le 0\);

5) \((x^2 — 25)\sqrt{16 — x^2} < 0\);

6) \((x^2 — 25)\sqrt{16 — x^2} > 0\);

7) \((x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4} \le 0\);

8) \((x^2 — 1)\sqrt{x^2 — 4} > 0\);

9) \((x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} < 0\);

10) \((x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} > 0\);

11) \((x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} \le 0\);

12) \((x^2 — 5x + 4)\sqrt{x^2 — 7x + 10} \ge 0\).

1) \((x-3)/14+5x-x^2>0;\)
\(x-3>0;\)
\(x>3;\)
Область определения:
\(14+5x-x^2\geq0;\)
\(x^2-5x-14\leq0;\)
\(D=5^2+4\cdot14=25+56=81,\) тогда:
\(x_1=\frac{5-9}{2}=-2,\) \(x_2=\frac{5+9}{2}=7;\)
\((x+2)(x-7)\leq0;\)
\(-2\leq x\leq7;\)
Ответ: \(x\in(3;7).\)

2) \((x-3)/14+5x-x^2\geq0;\)
\(x-3\geq0;\)
\(x\geq3;\)
Область определения:
\(14+5x-x^2\geq0;\)
\(x^2-5x-14\leq0;\)
\(D=5^2+4\cdot14=25+56=81,\) тогда:
\(x_1=\frac{5-9}{2}=-2,\) \(x_2=\frac{5+9}{2}=7;\)
\((x+2)(x-7)\leq0;\)
\(-2\leq x\leq7;\)
Ответ: \(x\in\{-2\}\cup[3;7].\)

3) \((x-3)/14+5x-x^2<0;\)
\(x-3<0;\)
\(x<3;\)
Область определения:
\(14+5x-x^2\geq0;\)
\(x^2-5x-14\leq0;\)
\(D=5^2+4\cdot14=25+56=81,\) тогда:
\(x_1=\frac{5-9}{2}=-2,\) \(x_2=\frac{5+9}{2}=7;\)
\((x+2)(x-7)\leq0;\)
\(-2\leq x\leq7;\)
Ответ: \(x\in(-2;3).\)

4) \((x-3)/14+5x-x^2\leq0;\)
\(x-3\leq0;\)
\(x\leq3;\)
Область определения:
\(14+5x-x^2\geq0;\)
\(x^2-5x-14\leq0;\)
\(D=5^2+4\cdot14=25+56=81,\) тогда:
\(x_1=\frac{5-9}{2}=-2,\) \(x_2=\frac{5+9}{2}=7;\)
\((x+2)(x-7)\leq0;\)
\(-2\leq x\leq7;\)
Ответ: \(x\in[-2;3]\cup\{7\}.\)

5) \((x^2-25)/16-x^2<0;\)
\(x^2-25<0;\)
\((x+5)(x-5)<0;\)
\(-5<x<5;\)
Область определения:
\(16-x^2\geq0;\)
\(x^2-16\leq0;\)
\((x+4)(x-4)\leq0;\)
\(-4\leq x\leq4;\)
Ответ: \(x\in(-4;4).\)

6) \((x^2-25)/16-x^2>0;\)
\(x^2-25>0;\)
\((x+5)(x-5)>0;\)
\(x<-5,\) \(x>5;\)
Область определения:
\(16-x^2\geq0;\)
\(x^2-16\leq0;\)
\((x+4)(x-4)\leq0;\)
\(-4\leq x\leq4;\)
Ответ: \(x\in\emptyset.\)

7) \((x^2-25)/16-x^2\leq0;\)
\(x^2-25\leq0;\)
\((x+5)(x-5)\leq0;\)
\(-5\leq x\leq5;\)
Область определения:
\(16-x^2\geq0;\)
\(x^2-16\leq0;\)
\((x+4)(x-4)\leq0;\)
\(-4\leq x\leq4;\)
Ответ: \(x\in[-4;4].\)

8) \((x^2-25)/16-x^2\geq0;\)
\(x^2-25\geq0;\)
\((x+5)(x-5)\geq0;\)
\(x\leq-5,\) \(x\geq5;\)
Область определения:
\(16-x^2\geq0;\)
\(x^2-16\leq0;\)
\((x+4)(x-4)\leq0;\)
\(-4\leq x\leq4;\)
Ответ: \(x\in\{-4;4\}.\)

9) \((x^2-4x-5)/x^2-5x+6>0;\)
\(x^2-4x-5>0;\)
\(D=4^2+4\cdot5=16+20=36,\) тогда:
\(x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\) \(x_2=\frac{4+6}{2}=5;\)
\((x+1)(x-5)>0;\)
\(x<-1,\) \(x>5;\)
Область определения:
\(x^2-5x+6\geq0;\)
\(D=5^2-4\cdot6=25-24=1,\) тогда:
\(x_1=\frac{5-1}{2}=2,\) \(x_2=\frac{5+1}{2}=3;\)
\((x-2)(x-3)\geq0;\)
\(x\leq2,\) \(x\geq3;\)
Ответ: \(x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty).\)

10) \((x^2-4x-5)/x^2-5x+6<0;\)
\(x^2-4x-5<0;\)
\(D=4^2+4\cdot5=16+20=36,\) тогда:
\(x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\) \(x_2=\frac{4+6}{2}=5;\)
\((x+1)(x-5)<0;\)
\(-1<x<5;\)
Область определения:
\(x^2-5x+6\geq0;\)
\(D=5^2-4\cdot6=25-24=1,\) тогда:
\(x_1=\frac{5-1}{2}=2,\) \(x_2=\frac{5+1}{2}=3;\)
\((x-2)(x-3)\geq0;\)
\(x\leq2,\) \(x\geq3;\)
Ответ: \(x\in(-1;2)\cup(3;5).\)

11) \((x^2-4x-5)/x^2-5x+6\leq0;\)
\(x^2-4x-5\leq0;\)
\(D=4^2+4\cdot5=16+20=36,\) тогда:
\(x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\) \(x_2=\frac{4+6}{2}=5;\)
\(-1\leq x\leq5;\)
\((x+1)(x-5)\leq0;\)
Область определения:
\(x^2-5x+6\geq0;\)
\(D=5^2-4\cdot6=25-24=1,\) тогда:
\(x_1=\frac{5-1}{2}=2,\) \(x_2=\frac{5+1}{2}=3;\)
\((x-2)(x-3)\geq0;\)
\(x\leq2,\) \(x\geq3;\)
Ответ: \(x\in[-1;2]\cup[3;5].\)

12) \((x^2-4x-5)/x^2-5x+6\geq0;\)
\(x^2-4x-5\geq0;\)
\(D=4^2+4\cdot5=16+20=36,\) тогда:
\(x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\) \(x_2=\frac{4+6}{2}=5;\)
\((x+1)(x-5)\geq0;\)
\(x\leq-1,\) \(x\geq5;\)
Область определения:
\(x^2-5x+6\geq0;\)
\(D=5^2-4\cdot6=25-24=1,\) тогда:
\(x_1=\frac{5-1}{2}=2,\) \(x_2=\frac{5+1}{2}=3;\)
\((x-2)(x-3)\geq0;\)
\(x\leq2,\) \(x\geq3;\)
Ответ: \(x\in(-\infty;-1]\cup\{2;3\}\cup[5;+\infty).\)

1) Для решения неравенства \((x-3)/14+5x-x^2>0\), сначала выделим область определения. Условие \(x-3>0\) дает \(x>3\). Далее рассмотрим выражение \(14+5x-x^2\geq0\), преобразуем его в квадратное уравнение \(x^2-5x-14\leq0\). Дискриминант равен \(D=5^2+4\cdot14=25+56=81\). Корни уравнения: \(x_1=\frac{5-9}{2}=-2\), \(x_2=\frac{5+9}{2}=7\). Разложение на множители дает \((x+2)(x-7)\leq0\), что определяет промежуток \(-2\leq x\leq7\). Пересечение с условием \(x>3\) дает \(x\in(3;7)\).

2) Для неравенства \((x-3)/14+5x-x^2\geq0\), область определения задается условием \(x-3\geq0\), то есть \(x\geq3\). Из выражения \(14+5x-x^2\geq0\) получаем \(x^2-5x-14\leq0\), дискриминант \(D=81\), корни \(x_1=-2\), \(x_2=7\). При разложении \((x+2)(x-7)\leq0\) промежуток \(-2\leq x\leq7\). Пересечение с \(x\geq3\) дает \(x\in\{-2\}\cup[3;7]\).

3) Решая \((x-3)/14+5x-x^2<0\), сначала выделим область определения \(x-3<0\), то есть \(x<3\). Условие \(14+5x-x^2\geq0\) преобразуется в \(x^2-5x-14\leq0\), дискриминант \(D=81\), корни \(x_1=-2\), \(x_2=7\). Разложение \((x+2)(x-7)\leq0\) дает промежуток \(-2\leq x\leq7\). Пересечение с \(x<3\) дает \(x\in(-2;3)\).

4) Для неравенства \((x-3)/14+5x-x^2\leq0\), область определения \(x-3\leq0\), то есть \(x\leq3\). Выражение \(14+5x-x^2\geq0\) преобразуется в \(x^2-5x-14\leq0\), дискриминант \(D=81\), корни \(x_1=-2\), \(x_2=7\). Разложение \((x+2)(x-7)\leq0\) определяет промежуток \(-2\leq x\leq7\). Пересечение с \(x\leq3\) дает \(x\in[-2;3]\cup\{7\}\).

5) Решая \((x^2-25)/16-x^2<0\), сначала выделим область определения \(x^2-25<0\), что дает \((x+5)(x-5)<0\), то есть \(-5<x<5\). Условие \(16-x^2\geq0\) преобразуется в \(x^2-16\leq0\), разложение \((x+4)(x-4)\leq0\) задает промежуток \(-4\leq x\leq4\). Пересечение этих областей дает \(x\in(-4;4)\).

6) Для неравенства \((x^2-25)/16-x^2>0\), область определения \(x^2-25>0\), то есть \((x+5)(x-5)>0\), что дает \(x<-5\) или \(x>5\). Условие \(16-x^2\geq0\) преобразуется в \(x^2-16\leq0\), разложение \((x+4)(x-4)\leq0\) задает промежуток \(-4\leq x\leq4\). Пересечение этих областей пусто, то есть \(x\in\emptyset\).

7) Решая \((x^2-25)/16-x^2\leq0\), область определения \(x^2-25\leq0\), что дает \((x+5)(x-5)\leq0\), то есть \(-5\leq x\leq5\). Условие \(16-x^2\geq0\) преобразуется в \(x^2-16\leq0\), разложение \((x+4)(x-4)\leq0\) задает промежуток \(-4\leq x\leq4\). Пересечение этих областей дает \(x\in[-4;4]\).

8) Для неравенства \((x^2-25)/16-x^2\geq0\), область определения \(x^2-25\geq0\), то есть \((x+5)(x-5)\geq0\), что дает \(x\leq-5\) или \(x\geq5\). Условие \(16-x^2\geq0\) преобразуется в \(x^2-16\leq0\), разложение \((x+4)(x-4)\leq0\) задает промежуток \(-4\leq x\leq4\). Пересечение этих областей дает \(x\in\{-4;4\}\).

9) Решая \((x^2-4x-5)/x^2-5x+6>0\), область определения \(x^2-4x-5>0\), дискриминант \(D=36\), корни \(x_1=-1\), \(x_2=5\). Разложение \((x+1)(x-5)>0\) дает \(x<-1\) или \(x>5\). Условие \(x^2-5x+6\geq0\) преобразуется в \(D=1\), корни \(x_1=2\), \(x_2=3\), разложение \((x-2)(x-3)\geq0\) задает \(x\leq2\) или \(x\geq3\). Пересечение этих областей дает \(x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)\).

10) Для неравенства \((x^2-4x-5)/x^2-5x+6<0\), область определения \(x^2-4x-5<0\), дискриминант \(D=36\), корни \(x_1=-1\), \(x_2=5\). Разложение \((x+1)(x-5)<0\) дает \(-1<x<5\). Условие \(x^2-5x+6\geq0\) преобразуется в \(D=1\), корни \(x_1=2\), \(x_2=3\), разложение \((x-2)(x-3)\geq0\) задает \(x\leq2\) или \(x\geq3\). Пересечение этих областей дает \(x\in(-1;2)\cup(3;5)\).

11) Решая \((x^2-4x-5)/x^2-5x+6\leq0\), область определения \(x^2-4x-5\leq0\), дискриминант \(D=36\), корни \(x_1=-1\), \(x_2=5\). Разложение \((x+1)(x-5)\leq0\) дает \(-1\leq x\leq5\). Условие \(x^2-5x+6\geq0\) преобразуется в \(D=1\), корни \(x_1=2\), \(x_2=3\), разложение \((x-2)(x-3)\geq0\) задает \(x\leq2\) или \(x\geq3\). Пересечение этих областей дает \(x\in[-1;2]\cup[3;5]\).

12) Для неравенства \((x^2-4x-5)/x^2-5x+6\geq0\), область определения \(x^2-4x-5\geq0\), дискриминант \(D=36\), корни \(x_1=-1\), \(x_2=5\). Разложение \((x+1)(x-5)\geq0\) дает \(x\leq-1\) или \(x\geq5\). Условие \(x^2-5x+6\geq0\) преобразуется в \(D=1\), корни \(x_1=2\), \(x_2=3\), разложение \((x-2)(x-3)\geq0\) задает \(x\leq2\) или \(x\geq3\). Пересечение этих областей дает \(x\in(-\infty;-1]\cup\{2;3\}\cup[5;+\infty)\).