ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство \(\left|\frac{x}{x^2 — 9}\right| < \left|\frac{x}{x^2 — 9}\right|\).

Решить неравенство:
\(\left|\frac{x}{x^2-9}\right| \leq \frac{x}{x^2-9}\);

Выполняется, если:
\(\frac{x}{x^2-9} \geq 0;\)
\(\frac{x}{(x+3)(x-3)} \geq 0;\)
\(-3 < x \leq 0, \, x > 3;\)

Ответ: \(x \in (-3; 0] \cup (3; +\infty)\).

1. Рассмотрим неравенство \(\left|\frac{x}{x^2-9}\right| \leq \frac{x}{x^2-9}\).

Абсолютная величина выражения \(\left|\frac{x}{x^2-9}\right|\) равна самому выражению \(\frac{x}{x^2-9}\), если \(\frac{x}{x^2-9} \geq 0\), и противоположному выражению \(-\frac{x}{x^2-9}\), если \(\frac{x}{x^2-9} < 0\).

Таким образом, неравенство \(\left|\frac{x}{x^2-9}\right| \leq \frac{x}{x^2-9}\) выполняется, если \(\frac{x}{x^2-9} \geq 0\).

2. Найдем область определения выражения \(\frac{x}{x^2-9}\).

Знаменатель \(x^2-9\) не должен равняться нулю, то есть \(x^2-9 \neq 0\).

Решим уравнение \(x^2-9 = 0\):
\(x^2 = 9\),
\(x = \pm 3\).

Следовательно, область определения: \(x \neq \pm 3\).

3. Исследуем знак выражения \(\frac{x}{x^2-9}\).

Разложим знаменатель \(x^2-9\) на множители:
\(x^2-9 = (x+3)(x-3)\).

Тогда \(\frac{x}{x^2-9} = \frac{x}{(x+3)(x-3)}\).

Числитель \(x\) равен нулю при \(x = 0\). Знаменатель \((x+3)(x-3)\) меняет знак в точках \(x = -3\) и \(x = 3\).

Разобьем числовую ось на интервалы:
\((-\infty; -3)\), \((-3; 0)\), \((0; 3)\), \((3; +\infty)\).

Определим знак выражения \(\frac{x}{(x+3)(x-3)}\) на каждом из интервалов:

— На интервале \((-3; 0)\):
\(x < 0\), \(x+3 > 0\), \(x-3 < 0\).
Произведение знаменателя \((x+3)(x-3)\) отрицательно, числитель \(x\) отрицателен.
Следовательно, дробь \(\frac{x}{(x+3)(x-3)}\) положительна.

— На интервале \((3; +\infty)\):
\(x > 0\), \(x+3 > 0\), \(x-3 > 0\).
Произведение знаменателя \((x+3)(x-3)\) положительно, числитель \(x\) положителен.
Следовательно, дробь \(\frac{x}{(x+3)(x-3)}\) положительна.

На остальных интервалах знак дроби отрицателен.

4. Учитывая знак выражения \(\frac{x}{x^2-9}\), получаем:
\(-3 < x \leq 0\), \(x > 3\).

5. Ответ: \(x \in (-3; 0] \cup (3; +\infty)\).