ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x+3)(x-1)(x+4)<0\)

2) \((3x+2)(x-5)(4x-1)>0\)

3) \((1-3x)(x+2)(3-x)<0\)

4) \(x(5x+3)(2-x)(4x-3)(x+5)>0\)

1) Переносим множители в стандартный порядок и строим знакосхему по корням \(x=-4,-3,1\). Чередуем знаки, так как все множители первой степени. Для \((x+3)(x-1)(x+4)<0\) получаем интервалы отрицательности: \(x\in(-\infty;-4)\cup(-3;1)\).

2) Корни: \(x=-\frac{2}{3},\,5,\,\frac{1}{4}\). Для \((3x+2)(x-5)(4x-1)>0\) чередуем знаки: положительно на \(x\in\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{4}\right)\cup(5;+\infty)\).

3) Корни: \(x=\frac{1}{3},\,-2,\,3\). Для \((1-3x)(x+2)(3-x)<0\) получаем отрицательные интервалы: \(x\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac{1}{3};3\right)\).

4) Корни: \(x=0,\,-\frac{3}{5},\,2,\,\frac{3}{4},\,-5\). Для \(x(5x+3)(2-x)(4x-3)(x+5)>0\) получаем положительные интервалы: \(x\in(-\infty;-5)\cup\left(-\frac{3}{5};0\right)\cup\left(\frac{3}{4};2\right)\).

1) Рассматриваем произведение линейных множителей \((x+3)(x-1)(x+4)<0\). Находим нули: \(x=-3\), \(x=1\), \(x=-4\). Располагаем их по возрастанию: \(-4,-3,1\). Так как все множители первой степени, знак произведения меняется при каждом проходе через корень. Для проверки берем контрольные точки: на \(x<-4\) удобно \(x=-5\); тогда \((x+3)<0\), \((x-1)<0\), \((x+4)<0\), произведение отрицательно, значит интервал \((-\infty;-4)\) подходит. На \((-4;-3)\) берем \(x=-3.5\): знаки \(+,-,-\), произведение положительное, интервал не подходит. На \((-3;1)\) берем \(x=0\): знаки \(+,-,+\), произведение отрицательное, интервал подходит. На \((1;+\infty)\) берем \(x=2\): знаки \(+,+,+\), произведение положительное, не подходит. Итог: \(x\in(-\infty;-4)\cup(-3;1)\).

2) Рассматриваем \((3x+2)(x-5)(4x-1)>0\). Нули: \(x=-\frac{2}{3}\), \(x=5\), \(x=\frac{1}{4}\). Упорядочим: \(-\frac{2}{3},\frac{1}{4},5\). Проверяем знаки по интервалам. На \((-\infty;-\frac{2}{3})\) возьмем \(x=-1\): знаки \((-),( -),( -)\), произведение \((-)\cdot(-)\cdot(-)=(-)\), не подходит. На \((-\frac{2}{3};\frac{1}{4})\) возьмем \(x=0\): знаки \((+),( -),( -)\), произведение \((+)\cdot(-)\cdot(-)=(+)\), подходит. На \((\frac{1}{4};5)\) возьмем \(x=1\): знаки \((+),( -),(+)\), произведение \((+)\cdot(-)\cdot(+)=(-)\), не подходит. На \((5;+\infty)\) возьмем \(x=6\): знаки \((+),(+),(+)\), произведение положительное, подходит. Границы не включаем, так как строгое \(>\). Итог: \(x\in\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{4}\right)\cup(5;+\infty)\).

3) Рассматриваем \((1-3x)(x+2)(3-x)<0\). Преобразуем для удобства знаков: \((1-3x)=-(3x-1)\), \((3-x)=-(x-3)\), следовательно эквивалентно \((x+2)(3x-1)(x-3)<0\) с теми же нулями. Нули: \(x=-2\), \(x=\frac{1}{3}\), \(x=3\). Упорядочим: \(-2,\frac{1}{3},3\). На \((-\infty;-2)\) берем \(x=-3\): знаки \((-),(-),(-)\) для исходных факторов \((1-3x),(x+2),(3-x)\) дают итог \((-)\cdot(-)\cdot(+)=(-)\) либо по преобразованному виду также отрицательно, интервал подходит. На \((-2;\frac{1}{3})\) берем \(x=0\): исходные знаки \((+),(+),(+)\) дают положительное, интервал не подходит. На \((\frac{1}{3};3)\) берем \(x=1\): исходные знаки \((-),(+),(+)\) дают отрицательное, интервал подходит. На \((3;+\infty)\) берем \(x=4\): исходные знаки \((-),(+),(-)\) дают положительное, не подходит. Итог: \(x\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac{1}{3};3\right)\).

4) Рассматриваем \(x(5x+3)(2-x)(4x-3)(x+5)>0\). Нули: \(x=0\), \(x=-\frac{3}{5}\), \(x=2\), \(x=\frac{3}{4}\), \(x=-5\). Упорядочим: \(-5,-\frac{3}{5},0,\frac{3}{4},2\). Проверяем интервалы. На \((-\infty;-5)\) берем \(x=-6\): факторы по знакам \((-),(-),(+),(-),(-)\) дают произведение положительное, интервал подходит. На \((-5;-\frac{3}{5})\) берем \(x=-1\): знаки \((-),(+),(+),(-),(+)\) дают отрицательное, не подходит. На \((-\frac{3}{5};0)\) берем \(x=-\frac{1}{2}\): знаки \((-),(+),(+),(-),(+)\) с учетом смены у \(5x+3\) становятся \(( -),(+),(+),(-),(+)\) и произведение положительное, интервал подходит. На \((0;\frac{3}{4})\) берем \(x=\frac{1}{2}\): знаки \((+),(+),(+),(-),(+)\) дают отрицательное, не подходит. На \((\frac{3}{4};2)\) берем \(x=1\): знаки \((+),(+),(+),(+),(+)\) дают положительное, интервал подходит. На \((2;+\infty)\) берем \(x=3\): знаки \((+),(+),(-),(+),(+)\) дают отрицательное, не подходит. Итог: \(x\in(-\infty;-5)\cup\left(-\frac{3}{5};0\right)\cup\left(\frac{3}{4};2\right)\).