ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \((x+3)(x-1)(x+4)<0\) 2) \((3x+2)(x-5)(4x-1)>0\)
3) \((1-3x)(x+2)(3-x)<0\) 4) \(x(5x+3)(2-x)(4x-3)(x+5)>0\)

Решить неравенство:

1) \((x+3)(x-1)(x+4)<0;\) \((x+4)(x+3)(x-1)<0;\) \(x<-4,\ -30;\)
\((3x+2)(4x-1)(x-5)>0;\)
\(-\frac{2}{3}5;\)
Ответ: \(x \in \left(-\frac{2}{3}; \frac{1}{4}\right) \cup (5; +\infty).\)

3) \((1-3x)(x+2)(3-x)<0;\) \((x+2)(3x-1)(x-3)<0;\) \(x<-2,\ \frac{1}{3}0;\)
\((x+5)(5x+3)x(4x-3)(x-2)<0;\) \(x<-5,\ -\frac{3}{5}

1) Рассмотрим неравенство \((x+3)(x-1)(x+4)<0\). Для решения данного неравенства найдем нули каждого множителя: - \(x+3=0 \Rightarrow x=-3\), - \(x-1=0 \Rightarrow x=1\), - \(x+4=0 \Rightarrow x=-4\). Таким образом, точки разбиения области определения: \(-4\), \(-3\), \(1\). На числовой прямой эти точки делят область на интервалы: \((-\infty; -4)\), \((-4; -3)\), \((-3; 1)\), \((1; +\infty)\). Проверяем знаки выражения в каждом из интервалов: - На интервале \((-\infty; -4)\) произведение отрицательное, так как все множители отрицательны. - На интервале \((-4; -3)\) произведение положительное, так как два множителя положительны, а один отрицателен. - На интервале \((-3; 1)\) произведение отрицательное, так как два множителя отрицательны, а один положителен. - На интервале \((1; +\infty)\) произведение положительное, так как все множители положительны. Неравенство выполняется на интервалах, где значение выражения отрицательно: \(x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 1)\). 2) Рассмотрим неравенство \((3x+2)(x-5)(4x-1)>0\). Найдем нули каждого множителя:
— \(3x+2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}\),
— \(x-5=0 \Rightarrow x=5\),
— \(4x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{4}\).

Точки разбиения области определения: \(-\frac{2}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(5\). На числовой прямой эти точки делят область на интервалы: \((-\infty; -\frac{2}{3})\), \((-\frac{2}{3}; \frac{1}{4})\), \((\frac{1}{4}; 5)\), \((5; +\infty)\). Проверяем знаки выражения в каждом из интервалов:
— На интервале \((-\infty; -\frac{2}{3})\) произведение отрицательное.
— На интервале \((-\frac{2}{3}; \frac{1}{4})\) произведение положительное.
— На интервале \((\frac{1}{4}; 5)\) произведение отрицательное.
— На интервале \((5; +\infty)\) произведение положительное.

Неравенство выполняется на интервалах, где значение выражения положительно: \(x \in \left(-\frac{2}{3}; \frac{1}{4}\right) \cup (5; +\infty)\).

3) Рассмотрим неравенство \((1-3x)(x+2)(3-x)<0\). Найдем нули каждого множителя: - \(1-3x=0 \Rightarrow x=\frac{1}{3}\), - \(x+2=0 \Rightarrow x=-2\), - \(3-x=0 \Rightarrow x=3\). Точки разбиения области определения: \(-2\), \(\frac{1}{3}\), \(3\). На числовой прямой эти точки делят область на интервалы: \((-\infty; -2)\), \((-2; \frac{1}{3})\), \((\frac{1}{3}; 3)\), \((3; +\infty)\). Проверяем знаки выражения в каждом из интервалов: - На интервале \((-\infty; -2)\) произведение отрицательное. - На интервале \((-2; \frac{1}{3})\) произведение положительное. - На интервале \((\frac{1}{3}; 3)\) произведение отрицательное. - На интервале \((3; +\infty)\) произведение положительное. Неравенство выполняется на интервалах, где значение выражения отрицательно: \(x \in (-\infty; -2) \cup \left(\frac{1}{3}; 3\right)\). 4) Рассмотрим неравенство \(x(5x+3)(2-x)(4x-3)(x+5)>0\). Найдем нули каждого множителя:
— \(x=0\),
— \(5x+3=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{5}\),
— \(2-x=0 \Rightarrow x=2\),
— \(4x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{4}\),
— \(x+5=0 \Rightarrow x=-5\).

Точки разбиения области определения: \(-5\), \(-\frac{3}{5}\), \(0\), \(\frac{3}{4}\), \(2\). На числовой прямой эти точки делят область на интервалы: \((-\infty; -5)\), \((-5; -\frac{3}{5})\), \((- \frac{3}{5}; 0)\), \((0; \frac{3}{4})\), \((\frac{3}{4}; 2)\), \((2; +\infty)\). Проверяем знаки выражения в каждом из интервалов:
— На интервале \((-\infty; -5)\) произведение положительное.
— На интервале \((-5; -\frac{3}{5})\) произведение отрицательное.
— На интервале \((- \frac{3}{5}; 0)\) произведение положительное.
— На интервале \((0; \frac{3}{4})\) произведение отрицательное.
— На интервале \((\frac{3}{4}; 2)\) произведение положительное.
— На интервале \((2; +\infty)\) произведение отрицательное.

Неравенство выполняется на интервалах, где значение выражения положительно: \(x \in (-\infty; -5) \cup \left(-\frac{3}{5}; 0\right) \cup \left(\frac{3}{4}; 2\right)\).