ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство \(\left|\frac{x — 1}{x^2 — 16}\right| < \left|\frac{x — 1}{x^2 — 16}\right|\).

Решить неравенство:
\(\left| \frac{x-1}{x^2-16} \right| \leq \frac{x-1}{x^2-16};\)

Выполняется, если:
\(\frac{x-1}{x^2-16} \geq 0;\)
\(\frac{x-1}{(x+4)(x-4)} \geq 0;\)
\(-4 < x \leq 1, \, x > 4;\)

Ответ: \(x \in (-4; 1] \cup (4; +\infty)\).

Рассмотрим данное неравенство:
\(\left| \frac{x-1}{x^2-16} \right| \leq \frac{x-1}{x^2-16}.\)

1. Условие модуля:
Модуль \(\left| \frac{x-1}{x^2-16} \right|\) раскрывается следующим образом:
\[
\left| \frac{x-1}{x^2-16} \right| =
\begin{cases}
\frac{x-1}{x^2-16}, & \text{если } \frac{x-1}{x^2-16} \geq 0, \\
-\frac{x-1}{x^2-16}, & \text{если } \frac{x-1}{x^2-16} < 0.
\end{cases}
\]

Неравенство \(\left| \frac{x-1}{x^2-16} \right| \leq \frac{x-1}{x^2-16}\) выполняется только в случае, если \(\frac{x-1}{x^2-16} \geq 0\), так как при \(\frac{x-1}{x^2-16} < 0\) модуль становится отрицательным, что противоречит правой части неравенства.

2. Исследуем знак выражения \(\frac{x-1}{x^2-16}\):
Разложим знаменатель \(x^2-16\) на множители:
\(x^2-16 = (x+4)(x-4).\)
Таким образом, выражение принимает вид:
\(\frac{x-1}{x^2-16} = \frac{x-1}{(x+4)(x-4)}.\)

Для определения знака дроби необходимо учесть знаки числителя и знаменателя:
— Числитель \(x-1\) меняет знак при \(x=1\).
— Знаменатель \((x+4)(x-4)\) меняет знак при \(x=-4\) и \(x=4\).

Критические точки: \(x = -4, x = 1, x = 4.\)

3. Промежутки знаков:
Рассмотрим знаки выражения \(\frac{x-1}{(x+4)(x-4)}\) на каждом из промежутков:
— При \(x \in (-\infty; -4)\): числитель \(x-1 < 0\), знаменатель \((x+4)(x-4) > 0\), дробь отрицательна.
— При \(x \in (-4; 1)\): числитель \(x-1 < 0\), знаменатель \((x+4)(x-4) < 0\), дробь положительна.
— При \(x \in (1; 4)\): числитель \(x-1 > 0\), знаменатель \((x+4)(x-4) < 0\), дробь отрицательна.
— При \(x \in (4; +\infty)\): числитель \(x-1 > 0\), знаменатель \((x+4)(x-4) > 0\), дробь положительна.

4. Решение неравенства:
Неравенство выполняется, если \(\frac{x-1}{(x+4)(x-4)} \geq 0\).
Из анализа знаков видно, что это условие выполняется на промежутках:
\(x \in (-4; 1] \cup (4; +\infty).\)

Ответ: \(x \in (-4; 1] \cup (4; +\infty).\)