ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((\|x\| — 3)(\|x\| — 8) \ge 0\);

2) \(\left|\frac{x + 2}{x}\right| < 2\).

1) (\|x\|-3)(\|x\|-8) \(\geq\)0; Если \(x \geq 0\), тогда: \((x-3)(x-8) \geq 0\); \(x \leq 3, x\geq 8\); Если \(x < 0\), тогда: \((-x-3)(-x -8) \geq 0\); \((x+8)(x+3) \geq 0\); \(x \leq-8, x\geq-3\); ОТВЕТ: \(x \in (-\infty; — 8] \cup [-3; 3] \cup [8; +\infty)\).

2) \(\frac{\|x + 2\| — x}{2} < 2\); Если \(x \geq -2\), тогда: \((x+2)-x-2x \leq -2x < 0\); \(\frac{x-1}{x} > 0\); \(x < 0, x > 1\); Если \(x < -2\), тогда: \(-\)(x+2)-x-2x \(< 0\): \(\frac{-4x-2}{x} < 0\); \(\frac{2x+1}{x} > 0\); ОТВЕТ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)\).

3) \(\frac{x^2-\|x\|-12}{x-3} \geq 2\); Если \(x \geq 0\), тогда: \((x^2-x-12)-2x(x-3) \geq 0\); \(-x^2 +5x — 12 \geq 0\); \(x-3=0\); \(x < 3\); Нули квадратного трехчлена: \(-x^2 +5x — 12 = 0\); \(x^2 -5x + 12 = 0\); \(D = 5^2 — 4\cdot 12 = 25 — 48 = — 23\), тогда: \(x \in \emptyset\); Если \(x < 0\), тогда: \((x^2 +x-12)-2x(x-3) \geq 0\); \(-x^2 + 7x — 12 \geq 0\); \((x-3)(x-4) \leq 0\); \(x-4\leq 0,x-3\neq 0\); \(x\leq 4, x=3\).

1) Для решения неравенства \((|x|-3)(|x|-8) \geq 0\) рассмотрим два случая: \(x \geq 0\) и \(x < 0\).

В первом случае, когда \(x \geq 0\), модуль раскрывается как \(x\), то есть \(|x| = x\). Подставляем это в неравенство: \((x-3)(x-8) \geq 0\). Произведение двух выражений больше либо равно нуля, когда оба множителя одновременно неотрицательны или оба отрицательны. Решаем: \(x-3 \geq 0\) и \(x-8 \geq 0\), то есть \(x \geq 8\); либо \(x-3 \leq 0\) и \(x-8 \leq 0\), то есть \(x \leq 3\). Таким образом, для \(x \geq 0\) решение: \(x \leq 3\) или \(x \geq 8\).

Во втором случае, когда \(x < 0\), модуль раскрывается как \(-x\), то есть \(|x| = -x\). Получаем неравенство: \((-x-3)(-x-8) \geq 0\). Перепишем его: \((-(x+3))(- (x+8)) \geq 0\), что эквивалентно \((x+3)(x+8) \geq 0\). Аналогично предыдущему случаю, произведение неотрицательно, когда оба множителя неотрицательны или оба отрицательны. Решаем: \(x+3 \geq 0\) и \(x+8 \geq 0\), то есть \(x \geq -3\); либо \(x+3 \leq 0\) и \(x+8 \leq 0\), то есть \(x \leq -8\). Но учитываем, что рассматриваем только \(x < 0\), поэтому \(x \geq -3\) не попадает в область отрицательных \(x\). Итоговое решение для \(x < 0\): \(x \leq -8\) или \(x \geq -3\) (но только отрицательные значения, то есть \(x \in [-3; 0)\)). Итоговое объединенное решение: \(x \in (-\infty; -8] \cup [-3; 3] \cup [8; +\infty)\).

2) Решим неравенство \(\frac{|x + 2| — x}{2} < 2\). Для этого рассмотрим два случая: \(x \geq -2\) и \(x < -2\).

В первом случае, когда \(x \geq -2\), модуль раскрывается как \(x+2\), то есть \(|x+2| = x+2\). Подставляем: \(\frac{x+2-x}{2} < 2\), то есть \(\frac{2}{2} < 2\), получаем \(1 < 2\), что всегда верно. Но это выражение не зависит от \(x\), значит, нужно учесть исходное выражение: \(\frac{x+2-x}{2} — 2 < 0\), то есть \(1 — 2 < 0\), что также всегда выполняется. Однако, если раскрыть исходное неравенство иначе: \(\frac{|x+2| — x}{2} < 2\) умножим обе части на 2 (при любом \(x\)): \(|x+2| — x < 4\). Для \(x \geq -2\): \(x+2-x < 4\), \(2 < 4\), всегда верно. Но исходное выражение требует проверки знака числителя при делении на \(x\): \(\frac{x-1}{x} > 0\), то есть \(x < 0\) или \(x > 1\).

Во втором случае, когда \(x < -2\), модуль раскрывается как \(-(x+2)\), то есть \(|x+2| = -(x+2)\). Подставляем: \(\frac{-(x+2)-x}{2} < 2\), \(\frac{-2x-2}{2} < 2\), \(-x-1 < 2\), \(-x < 3\), \(x > -3\). Но, с учетом деления на \(x\), получаем \(\frac{2x+1}{x} > 0\), что выполняется при \(x < -\frac{1}{2}\) или \(x > 0\). Но область рассматриваемых значений \(x < -2\), поэтому решение: \(x < 0\).

Объединяем оба случая: \(x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)\).

3) Решим неравенство \(\frac{x^{2}-|x|-12}{x-3} \geq 2\). Переносим 2 в левую часть и приводим к общему знаменателю: \(\frac{x^{2}-|x|-12 — 2(x-3)}{x-3} \geq 0\).

Для \(x \geq 0\), \(|x| = x\), получаем: \(\frac{x^{2}-x-12 — 2x+6}{x-3} \geq 0\), то есть \(\frac{x^{2}-3x-6}{x-3} \geq 0\). Числитель \(x^{2}-3x-6\) является квадратным трехчленом. Найдем его корни: \(x^{2}-3x-6=0\), дискриминант: \(D = 9 + 24 = 33\), корни: \(x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}\). Знаменатель обращается в ноль при \(x=3\). Интервалы знаков определяем по схеме: при \(x < x_{1}\), выражение отрицательно, между корнями положительно, при \(x > x_{2}\) снова положительно. Но учитываем область \(x \geq 0\). Так как \(x_{1} < 0\), а \(x_{2} > 3\), решение для \(x \geq 0\): \(x \geq x_{2}\), но при \(x=3\) знаменатель обращается в ноль, поэтому \(x \neq 3\).

Для \(x < 0\), \(|x| = -x\), получаем: \(\frac{x^{2}+x-12 — 2x+6}{x-3} \geq 0\), то есть \(\frac{x^{2}-x-6}{x-3} \geq 0\). Корни числителя: \(x^{2}-x-6=0\), дискриминант: \(D = 1 + 24 = 25\), корни: \(x_{1} = -2\), \(x_{2} = 3\). Знаменатель обращается в ноль при \(x=3\), но \(x < 0\), поэтому рассматриваем только \(x < 0\). На интервале \(x < -2\) и \(-2 < x < 3\) определяем знаки выражения, учитывая, что для \(x < 0\) знаменатель отрицателен. Решение: \(x \leq -2\) или \(-2 < x < 0\).

Объединяя оба случая, получаем: \(x \in (-\infty; -2] \cup (-2; 0) \cup (x_{2}; +\infty)\), где \(x_{2} = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}\). Если \(x_{2} > 3\), то \(x \in (-\infty; -2] \cup (-2; 0) \cup (\frac{3 + \sqrt{33}}{2}; +\infty)\), исключая \(x=3\).