ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((\|x\| — 5)(|x| — 7) < 0\);

2) \(\left|\frac{x + 3}{x + 2}\right| > 1\);

3) \(\frac{x^2 — 7|x| + 10}{x^2 — 6x + 9} < 0\);

4) \(\left|\frac{2}{x|x — 1|}\right| \le -1\).

1) \((|x|-5)(|x|-7) \leq 0\);
Если \(x \geq 0\), тогда:
\((x-5)(x-7) \leq 0\);
\(5 \leq x \leq 7\);
Если \(x < 0\), тогда:
\((-x-5)(-x-7) \leq 0\);
\((x+7)(x+5) \leq 0\);
\(-7 \leq x \leq -5\);
Ответ: \(x \in [-7;-5] \cup [5;7]\).

2) \(\frac{|x+3|+x}{x+2}>1\);
Если \(x \geq -3\), тогда:
\(\frac{(x+3)+x-(x+2)}{x+2}>0\);
\(\frac{x+1}{x+2}>0\);
\(x<-2,\,x>-1\);
Если \(x<-3\), тогда:
\(\frac{-(x+3)+x-(x+2)}{x+2}>0\);
\(\frac{-x-5}{x+2}>0\);
\(-5<x<-2\);
Ответ: \(x \in (-5;-2)\cup(-1;+\infty)\).

3) \(x^2-7|x|+10<0\);
Если \(x \geq 0\), тогда:
\(\frac{x^2-7x+10}{x^2-6x+9}<0\);
\(\frac{(x-2)(x-5)}{(x-3)^2}<0\);
\((x-2)(x-5)<0,\,x-3\neq 0;\)
\(2<x<5,\,x\neq 3;\)
Нули квадратного трехчлена:
\(x^2-7x+10=0;\)
\(D=7^2-4\cdot10=49-40=9,\) тогда:
\(x_1=\frac{7-3}{2}=2\) и \(x_2=\frac{7+3}{2}=5;\)
Если \(x<0\), тогда:
\(\frac{x^2+7x+10}{x^2-6x+9}<0\);
\(\frac{(x+5)(x+2)}{(x-3)^2}<0;\)
\((x+5)(x+2)<0,\,x-3\neq 0;\)
\(-5<x<-2,\,x\neq 3;\)
Нули квадратного трехчлена:
\(x^2+7x+10=0;\)
\(D=7^2-4\cdot10=49-40=9,\) тогда:
\(x_1=\frac{-7-3}{2}=-5\) и \(x_2=\frac{-7+3}{2}=-2;\)
Ответ: \(x \in (-5;-2)\cup(2;3)\cup(3;5)\).

4) \(\frac{2}{x|x-1|} \leq -1;\)
Если \(x \geq 1\), тогда:
\(\frac{2+x(x-1)}{x(x-1)}\leq 0;\)
\(\frac{x^2-x+2}{x(x-1)}\leq 0;\)
\(\frac{1}{x(x-1)}\leq 0;\)
\(0<x<1;\)
Нули квадратного трехчлена:
\(x^2-x+2=0;\)
\(D=1^2-4\cdot2=1-8=-7,\) тогда:
\(x\in\emptyset;\)
Если \(x<1\), тогда:
\(\frac{2+x(1-x)}{x(1-x)}\leq 0;\)
\(\frac{2+x-x^2}{x(1-x)}\geq 0;\)
\(\frac{(x+1)(x-2)}{x(1-x)}\leq 0;\)
\(-1\leq x<0,\,1<x\leq 2;\)
Нули квадратного трехчлена:
\(2+x-x^2=0;\)
\(x^2-x-2=0;\)
\(D=1^2+4\cdot2=1+8=9,\) тогда:
\(x_1=\frac{1-3}{2}=-1\) и \(x_2=\frac{1+3}{2}=2;\)
Ответ: \(x\in[-1;0)\).

Рассмотрим первое неравенство: \((|x|-5)(|x|-7) \leq 0\). Здесь выражение содержит модули, поэтому необходимо рассмотреть два случая: \(x \geq 0\) и \(x < 0\). Если \(x \geq 0\), то \(|x| = x\), и неравенство принимает вид \((x-5)(x-7) \leq 0\). Это квадратное неравенство, его решение находится между корнями, так как ветви параболы вверх: \(x-5=0\) при \(x=5\), \(x-7=0\) при \(x=7\). Следовательно, \(5 \leq x \leq 7\). Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), и неравенство становится \((-x-5)(-x-7) \leq 0\), что эквивалентно \((x+7)(x+5) \leq 0\). Корни: \(x=-7\) и \(x=-5\), знак неравенства между корнями: \(-7 \leq x \leq -5\). Итоговое множество решений объединяет оба случая: \(x \in [-7;-5] \cup [5;7]\).

Второе неравенство: \(\frac{|x+3|+x}{x+2}>1\). Снова рассматриваем два случая для модуля: если \(x \geq -3\), то \(|x+3|=x+3\), и выражение становится \(\frac{(x+3)+x}{x+2}>1\), преобразуем: \(\frac{2x+3}{x+2}>1\). Преобразуем к стандартному виду: \(\frac{2x+3}{x+2}-1>0\), получаем \(\frac{2x+3-x-2}{x+2}>0\), то есть \(\frac{x+1}{x+2}>0\). Дробь положительна, если числитель и знаменатель одного знака, но знаменатель не равен нулю. \(x+2=0\) при \(x=-2\), числитель \(x+1=0\) при \(x=-1\). Знаки меняются в точках \(-2\) и \(-1\), проводим анализ знаков: при \(x<-2\) оба отрицательны, дробь положительна; при \(-2<x<-1\) знаменатель положителен, числитель отрицателен — дробь отрицательна; при \(x>-1\) оба положительны — дробь положительна. Так как требуется строго больше нуля, решения: \(x<-2\) или \(x>-1\), исключая точку \(x=-2\).

Если \(x<-3\), то \(|x+3|=-(x+3)\), выражение преобразуется: \(\frac{-(x+3)+x}{x+2}>1\), упрощаем: \(\frac{-x-3+x}{x+2}>1\), то есть \(\frac{-3}{x+2}>1\). Переносим 1: \(\frac{-3}{x+2}-1>0\), приводим к общему знаменателю: \(\frac{-3-(x+2)}{x+2}>0\), получаем \(\frac{-x-5}{x+2}>0\). Дробь положительна, если числитель и знаменатель одного знака, знаменатель не равен нулю. \(x+2=0\) при \(x=-2\), числитель \(-x-5=0\) при \(x=-5\). Анализируем интервалы: при \(x<-5\) числитель положителен, знаменатель отрицателен — дробь отрицательна; при \(-5<x<-2\) оба отрицательны — дробь положительна; при \(x>-2\) числитель отрицателен, знаменатель положителен — дробь отрицательна. Требуется строго больше нуля: \(-5<x<-2\).

Итого, объединяя оба случая: \(x \in (-5;-2) \cup (-1;+\infty)\).

Третье неравенство: \(x^{2}-7|x|+10<0\). Опять рассматриваем два случая: если \(x \geq 0\), то \(|x|=x\), получаем: \(x^{2}-7x+10<0\). Решим квадратное неравенство: \(x^{2}-7x+10=0\), дискриминант \(D=49-40=9\), корни \(x_{1}=\frac{7-3}{2}=2\), \(x_{2}=\frac{7+3}{2}=5\). Между корнями неравенство выполняется: \(2<x<5\). Если \(x<0\), то \(|x|=-x\), получаем: \(x^{2}+7x+10<0\). Решаем квадратное неравенство: \(x^{2}+7x+10=0\), дискриминант \(D=49-40=9\), корни \(x_{1}=\frac{-7-3}{2}=-5\), \(x_{2}=\frac{-7+3}{2}=-2\). Между корнями выполняется неравенство: \(-5<x<-2\).

В задаче есть дополнительное условие, связанное с выражением \(x^{2}-6x+9\) в знаменателе, так как оно не должно равняться нулю, иначе дробь не определена. \(x^{2}-6x+9=0\) при \(x=3\), поэтому \(x=3\) исключается из решений. Для случая \(x \geq 0\) решаем \(\frac{(x-2)(x-5)}{(x-3)^{2}}<0\), анализируем знаки числителя и знаменателя, исключая \(x=3\). Аналогично для \(x<0\) — \(\frac{(x+5)(x+2)}{(x-3)^{2}}<0\), также исключая \(x=3\).

Объединяя все найденные интервалы, получаем итоговое множество решений: \(x \in (-5;-2)\cup(2;3)\cup(3;5)\).

Рассмотрим последнее неравенство: \(\frac{2}{x|x-1|}\leq -1\). Здесь важно учесть знак выражения под модулем и провести разбор на случаи. Если \(x \geq 1\), то \(|x-1|=x-1\), тогда \(\frac{2}{x(x-1)}\leq -1\). Приведём к общему знаменателю: \(\frac{2+x(x-1)}{x(x-1)}\leq 0\), упрощаем числитель: \(x^{2}-x+2\). Решаем квадратное неравенство \(x^{2}-x+2=0\), дискриминант отрицателен (\(D=1-8=-7\)), вещественных корней нет, поэтому выражение всегда положительно. Значит, неравенство не выполняется ни при каких \(x \geq 1\), решение \(\emptyset\).

Если \(x<1\), то \(|x-1|=-(x-1)=1-x\), тогда \(\frac{2}{x(1-x)}\leq -1\). Преобразуем: \(\frac{2+x(1-x)}{x(1-x)}\leq 0\), числитель: \(2+x-x^{2}=-(x^{2}-x-2)\). Решаем квадратное неравенство \(2+x-x^{2}=0\), приводим к стандартному виду: \(x^{2}-x-2=0\), дискриминант \(D=1+8=9\), корни \(x_{1}=\frac{1-3}{2}=-1\), \(x_{2}=\frac{1+3}{2}=2\). Дробь отрицательна на интервалах, где числитель и знаменатель разных знаков, анализируем знак на интервалах \((-1;0)\) и \((1;2)\), но учитываем область определения: \(x<1\), поэтому остаётся только \([-1;0)\).

Ответ: \(x \in [-1;0)\).