ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\left|\frac{2x — 1}{x — 1}\right| > 2\);

2) \(\left|\frac{3x}{x^2 — 4}\right| \le 1\);

3) \(\left|\frac{x^2 — 5x + 4}{x^2 — 4}\right| \le 1\).

1) \(\left|\frac{2x-1}{x-1}\right| \geq 2;\)

Первое неравенство:
\(\frac{2x-1}{x-1} \leq -2;\)
\(\frac{(2x-1)+2(x-1)}{x-1} \leq 0;\)
\(\frac{4x-3}{x-1} \leq 0;\)
\(\frac{3}{4} \leq x < 1;\)

Второе неравенство:
\(\frac{2x-1}{x-1} \geq 2;\)
\(\frac{(2x-1)-2(x-1)}{x-1} \geq 0;\)
\(\frac{1}{x-1} \geq 0;\)
\(x > 1;\)

Ответ: \(x \in \left[\frac{3}{4}; 1\right) \cup (1; +\infty)\).

2) \(\left|\frac{3x}{x^2-4}\right| \leq 1;\)

Первое неравенство:
\(\frac{3x}{x^2-4} \geq -1;\)
\(\frac{3x + (x^2-4)}{x^2-4} \geq 0;\)
\(\frac{(x+4)(x-1)}{(x+2)(x-2)} \geq 0;\)
\(x \leq -4,\, -2 < x \leq 1,\, x \geq 2;\)
Нули квадратного трехчлена:
\(3x + (x^2 — 4) = 0;\)
\(x^2 + 3x — 4 = 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-3-5}{2} = -4,\) \(x_2 = \frac{-3+5}{2} = 1;\)

Второе неравенство:
\(\frac{3x}{x^2-4} \leq 1;\)
\(\frac{3x-(x^2-4)}{x^2-4} \leq 0;\)
\(\frac{(x+1)(x-4)}{(x+2)(x-2)} \leq 0;\)
\(x < -2,\, -1 \leq x < 2,\, x \geq 4;\)
Нули квадратного трехчлена:
\(3x — (x^2-4) \leq 0;\)
\(x^2 — 3x — 4 \geq 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25,\) тогда:
\(x_1 = \frac{3-5}{2} = -1,\) \(x_2 = \frac{3+5}{2} = 4;\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -4] \cup [-1; 1] \cup [4; +\infty)\).

3) \(\left|\frac{x^2-5x+4}{x^2-4}\right| \leq 1;\)

Первое неравенство:
\(\frac{x^2-5x+4}{x^2-4} \geq -1;\)
\(\frac{(x^2-5x+4)+(x^2-4)}{x^2-4} \geq 0;\)
\(\frac{2x^2-5x}{x^2-4} \geq 0;\)
\(\frac{x(2x-5)}{(x+2)(x-2)} \geq 0;\)
\(x < -2,\, 0 \leq x < 2,\, x \geq \frac{5}{2};\)

Второе неравенство:
\(\frac{x^2-5x+4}{x^2-4} \leq 1;\)
\(\frac{(x^2-5x+4)-(x^2-4)}{x^2-4} \leq 0;\)
\(\frac{8-5x}{x^2-4} \leq 0;\)
\(\frac{5x-8}{(x+2)(x-2)} \geq 0;\)
\(-2 < x \leq \frac{8}{5},\, x > 2;\)

Ответ: \(x \in [0; \frac{8}{5}] \cup [\frac{5}{2}; +\infty)\).

1)
Рассмотрим неравенство:
\(\left|\frac{2x-1}{x-1}\right| \geq 2\)

Первое неравенство:
\(\frac{2x-1}{x-1} \leq -2\)
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{2x-1 + 2(x-1)}{x-1} \leq 0\)
\(\frac{2x-1 + 2x-2}{x-1} \leq 0\)
\(\frac{4x-3}{x-1} \leq 0\)
Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:
Числитель равен нулю при \(4x-3=0\), то есть \(x=\frac{3}{4}\)
Знаменатель равен нулю при \(x=1\)
Расставим точки на числовой прямой: \(\frac{3}{4}\) и \(1\)
Исследуем интервалы:
Для \(x < \frac{3}{4}\): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен — дробь положительна
Для \(\frac{3}{4} < x < 1\): числитель положителен, знаменатель отрицателен — дробь отрицательна
Для \(x > 1\): числитель положителен, знаменатель положителен — дробь положительна
Нас интересует область, где дробь меньше или равна нулю:
\(\frac{3}{4} \leq x < 1\)

Второе неравенство:
\(\frac{2x-1}{x-1} \geq 2\)
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{2x-1 — 2(x-1)}{x-1} \geq 0\)
\(\frac{2x-1 — 2x + 2}{x-1} \geq 0\)
\(\frac{1}{x-1} \geq 0\)
Знаменатель положителен для \(x > 1\)
Получаем: \(x > 1\)

Объединяя решения:
\(x \in \left[\frac{3}{4}; 1\right) \cup (1; +\infty)\)

2)
Рассмотрим неравенство:
\(\left|\frac{3x}{x^2-4}\right| \leq 1\)

Первое неравенство:
\(\frac{3x}{x^2-4} \geq -1\)
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{3x + (x^2-4)}{x^2-4} \geq 0\)
\(\frac{x^2 + 3x — 4}{x^2-4} \geq 0\)
Решим квадратное уравнение \(x^2 + 3x — 4 = 0\):
Дискриминант: \(D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25\)
\(x_1 = \frac{-3-5}{2} = -4\)
\(x_2 = \frac{-3+5}{2} = 1\)
Знаменатель \(x^2-4 = (x+2)(x-2)\)
Точки: \(-4, -2, 1, 2\)
Рассматриваем знаки на интервалах:
Для \(x < -4\): числитель \(+\), знаменатель \(+\), дробь \(+\)
Для \(-4 < x < -2\): числитель \(-\), знаменатель \(+\), дробь \(-\)
Для \(-2 < x < 1\): числитель \(+\), знаменатель \(-\), дробь \(-\)
Для \(1 < x < 2\): числитель \(+\), знаменатель \(-\), дробь \(-\)
Для \(x > 2\): числитель \(+\), знаменатель \(+\), дробь \(+\)
Нас интересует область, где дробь больше или равна нулю:
\(x \leq -4\), \(-2 < x \leq 1\), \(x \geq 2\)

Второе неравенство:
\(\frac{3x}{x^2-4} \leq 1\)
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{3x — (x^2-4)}{x^2-4} \leq 0\)
\(\frac{-x^2 + 3x + 4}{x^2-4} \leq 0\)
Решим квадратное уравнение \(-x^2 + 3x + 4 = 0\) или \(x^2 — 3x — 4 = 0\):
Дискриминант: \(D = (-3)^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25\)
\(x_1 = \frac{3-5}{2} = -1\)
\(x_2 = \frac{3+5}{2} = 4\)
Точки: \(-2, -1, 2, 4\)
Рассматриваем знаки на интервалах:
Для \(x < -2\): числитель \(+\), знаменатель \(+\), дробь \(+\)
Для \(-2 < x < -1\): числитель \(-\), знаменатель \(+\), дробь \(-\)
Для \(-1 < x < 2\): числитель \(-\), знаменатель \(-\), дробь \(+\)
Для \(2 < x < 4\): числитель \(-\), знаменатель \(+\), дробь \(-\)
Для \(x > 4\): числитель \(+\), знаменатель \(+\), дробь \(+\)
Нас интересует область, где дробь меньше или равна нулю:
\(x < -2\), \(-1 \leq x < 2\), \(x \geq 4\)

Объединяя решения:
\(x \in (-\infty; -4] \cup [-1; 1] \cup [4; +\infty)\)

3)
Рассмотрим неравенство:
\(\left|\frac{x^2-5x+4}{x^2-4}\right| \leq 1\)

Первое неравенство:
\(\frac{x^2-5x+4}{x^2-4} \geq -1\)
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{x^2-5x+4 + x^2-4}{x^2-4} \geq 0\)
\(\frac{2x^2-5x}{x^2-4} \geq 0\)
Вынесем \(x\):
\(\frac{x(2x-5)}{(x+2)(x-2)} \geq 0\)
Нули числителя: \(x = 0\), \(2x-5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\)
Нули знаменателя: \(x = -2\), \(x = 2\)
Расставим точки на числовой прямой: \(-2, 0, 2, \frac{5}{2}\)
Исследуем интервалы:
Для \(x < -2\): числитель \(+\), знаменатель \(+\), дробь \(+\)
Для \(-2 < x < 0\): числитель \(-\), знаменатель \(+\), дробь \(-\)
Для \(0 < x < 2\): числитель \(+\), знаменатель \(-\), дробь \(-\)
Для \(2 < x < \frac{5}{2}\): числитель \(+\), знаменатель \(+\), дробь \(+\)
Для \(x > \frac{5}{2}\): числитель \(+\), знаменатель \(+\), дробь \(+\)
Нас интересует область, где дробь больше или равна нулю:
\(x < -2\), \(0 \leq x < 2\), \(x \geq \frac{5}{2}\)

Второе неравенство:
\(\frac{x^2-5x+4}{x^2-4} \leq 1\)
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{x^2-5x+4 — (x^2-4)}{x^2-4} \leq 0\)
\(\frac{-5x+8}{x^2-4} \leq 0\)
\(\frac{5x-8}{(x+2)(x-2)} \geq 0\)
Нули числителя: \(5x-8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{5}\)
Нули знаменателя: \(x = -2\), \(x = 2\)
Расставим точки на числовой прямой: \(-2, \frac{8}{5}, 2\)
Исследуем интервалы:
Для \(x < -2\): числитель \(-\), знаменатель \(+\), дробь \(-\)
Для \(-2 < x < \frac{8}{5}\): числитель \(-\), знаменатель \(+\), дробь \(-\)
Для \(\frac{8}{5} < x < 2\): числитель \(+\), знаменатель \(+\), дробь \(+\)
Для \(x > 2\): числитель \(+\), знаменатель \(+\), дробь \(+\)
Нас интересует область, где дробь больше или равна нулю:
\(\frac{8}{5} \leq x < 2\), \(x > 2\)

Объединяя решения:
\(x \in [0; \frac{8}{5}] \cup [\frac{5}{2}; +\infty)\)