ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\left|\frac{x — 3}{x — 5}\right| \ge 1\);

2) \(\left|\frac{x + 4}{x + 2}\right| \le 1\);

3) \(\left|\frac{x^2 — 3x + 2}{x^2 + 3x + 2}\right| < 1\).

1) \(\left|\frac{x-3}{x-5}\right|\geq1;\)

Первое неравенство:

\(\frac{x-3}{x-5}\leq-1;\)

\(\frac{(x-3)+(x-5)}{x-5}\leq0;\)

\(\frac{2x-8}{x-5}\leq0;\)

\(\frac{x-4}{x-5}\leq0;\)

\(4\leq x<5;\)

Второе неравенство:

\(\frac{x-3}{x-5}\geq1;\)

\(\frac{(x-3)-(x-5)}{x-5}\geq0;\)

\(\frac{2}{x-5}\geq0;\)

\(x>5;\)

Ответ: \(x\in[4;5)\cup(5;+\infty).\)

2) \(\left|\frac{x+4}{x+2}\right|\leq1;\)

Первое неравенство:

\(\frac{x+4}{x+2}\geq-1;\)

\(\frac{(x+4)+(x+2)}{x+2}\geq0;\)

\(\frac{2x+6}{x+2}\geq0;\)

\(\frac{x+3}{x+2}\geq0;\)

\(x\leq-3,\ x>-2;\)

Второе неравенство:

\(\frac{x+4}{x+2}\leq1;\)

\(\frac{(x+4)-(x+2)}{x+2}\leq0;\)

\(\frac{2}{x+2}\leq0;\)

\(x<-2;\)

Ответ: \(x\in(-\infty;-3].\)

3) \(\left|\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}\right|<1;\)

Первое неравенство:

\(\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}>-1;\)

\(\frac{(x^2-3x+2)+(x^2+3x+2)}{x^2+3x+2}>0;\)

\(\frac{2x^2+4}{x^2+3x+2}>0;\)

\(\frac{1}{(x+2)(x+1)}>0;\)

\(x<-2,\ x>-1;\)

Нули квадратного трёхчлена:

\(x^2+3x+2=0;\)

\(D=3^2-4\cdot2=9-8=1,\) тогда:

\(x_1=\frac{-3-1}{2}=-2\) и \(x_2=\frac{-3+1}{2}=-1;\)

Второе неравенство:

\(\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}<1;\)

\(\frac{(x^2-3x+2)-(x^2+3x+2)}{x^2+3x+2}<0;\)

\(\frac{-6x}{(x+2)(x+1)}<0;\)

\(\frac{x}{(x+2)(x+1)}>0;\)

\(x\in(0;+\infty).\)

Ответ: \(x\in(0;+\infty).\)

Рассмотрим первое неравенство из задания: \(\left|\frac{x-3}{x-5}\right|\geq1\). Абсолютное значение дроби больше или равно единице тогда и только тогда, когда либо \(\frac{x-3}{x-5}\leq-1\), либо \(\frac{x-3}{x-5}\geq1\). Для каждого случая рассмотрим преобразования и подробно объясним ход решения.

В первом случае, \(\frac{x-3}{x-5}\leq-1\). Преобразуем неравенство: перенесём \(-1\) влево, приведём к общему знаменателю: \(\frac{x-3}{x-5}+1\leq0\), то есть \(\frac{x-3+x-5}{x-5}\leq0\), что даёт \(\frac{2x-8}{x-5}\leq0\). Теперь числитель и знаменатель дроби не равны нулю одновременно, поскольку при \(x=5\) знаменатель обращается в ноль, а при \(x=4\) числитель. Запишем интервалы, при которых дробь неположительна: знак дроби зависит от знаков числителя и знаменателя. При \(x<4\) оба выражения отрицательны, дробь положительна; при \(4\leq x<5\) числитель положителен, знаменатель отрицателен — дробь отрицательна; при \(x>5\) оба выражения положительны, дробь положительна. Нас интересует \(\frac{2x-8}{x-5}\leq0\), то есть промежуток \(4\leq x<5\).

Во втором случае, \(\frac{x-3}{x-5}\geq1\). Перенесём \(1\) влево: \(\frac{x-3}{x-5}-1\geq0\), приведём к общему знаменателю: \(\frac{x-3-(x-5)}{x-5}\geq0\), что упрощается до \(\frac{2}{x-5}\geq0\). Числитель всегда положителен, поэтому дробь неотрицательна только при \(x-5>0\), то есть \(x>5\).

Объединяя решения двух случаев, получаем: \(x\in[4;5)\cup(5;+\infty)\). В точке \(x=5\) выражение не имеет смысла (деление на ноль), поэтому точка не входит в область определения. Таким образом, ответ: \(x\in[4;5)\cup(5;+\infty)\).

Во втором неравенстве рассматривается \(\left|\frac{x+4}{x+2}\right|\leq1\). Абсолютное значение дроби меньше или равно единице, если одновременно выполняются два условия: \(\frac{x+4}{x+2}\geq-1\) и \(\frac{x+4}{x+2}\leq1\). Рассмотрим каждое из них подробно.

Первое неравенство: \(\frac{x+4}{x+2}\geq-1\). Преобразуем: \(\frac{x+4}{x+2}+1\geq0\), то есть \(\frac{x+4+x+2}{x+2}\geq0\), что даёт \(\frac{2x+6}{x+2}\geq0\), или \(\frac{x+3}{x+2}\geq0\). Эта дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака. Числитель обращается в ноль при \(x=-3\), знаменатель — при \(x=-2\). Значит, \(\frac{x+3}{x+2}\geq0\) при \(x\leq-3\) (оба отрицательны) и при \(x>-2\) (оба положительны).

Второе неравенство: \(\frac{x+4}{x+2}\leq1\). Переносим \(1\) влево, приводим к общему знаменателю: \(\frac{x+4-(x+2)}{x+2}\leq0\), что упрощается до \(\frac{2}{x+2}\leq0\). Это возможно только при \(x+2<0\), то есть \(x<-2\).

Пересечём оба условия: \(x\leq-3\) и \(x<-2\). На пересечении получаем \(x\leq-3\). Ответ: \(x\in(-\infty;-3]\).

В третьем неравенстве \(\left|\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+3x+2}\right|<1\) требуется, чтобы дробь по модулю была строго меньше единицы. Это выполняется, когда одновременно выполняются два условия: \(\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+3x+2}>-1\) и \(\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+3x+2}<1\). Разберём каждое из них.

Первое неравенство: \(\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+3x+2}>-1\). Переносим \(-1\) влево, приводим к общему знаменателю: \(\frac{x^{2}-3x+2+(x^{2}+3x+2)}{x^{2}+3x+2}>0\), что даёт \(\frac{2x^{2}+4}{x^{2}+3x+2}>0\). Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком знаменателя. Знаменатель равен нулю при \(x^{2}+3x+2=0\), то есть при \(x=-2\) и \(x=-1\). Между этими точками знак знаменателя меняется. Значит, \(\frac{2x^{2}+4}{x^{2}+3x+2}>0\) при \(x<-2\) и при \(x>-1\).

Второе неравенство: \(\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+3x+2}<1\). Переносим \(1\) влево, приводим к общему знаменателю: \(\frac{x^{2}-3x+2-(x^{2}+3x+2)}{x^{2}+3x+2}<0\), что упрощается до \(\frac{-6x}{x^{2}+3x+2}<0\). Знак дроби определяется знаком числителя и знаменателя. Числитель отрицателен при \(x>0\), знаменатель положителен при \(x>-1\), кроме точек \(x=-2\) и \(x=-1\), где он равен нулю. Таким образом, \(\frac{-6x}{x^{2}+3x+2}<0\) при \(x>0\) и \(x>-1\).

Пересечём оба условия: первое даёт \(x<-2\) и \(x>-1\), второе — \(x>0\). На пересечении получаем только \(x>0\). Таким образом, ответ: \(x\in(0;+\infty)\).