ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(|2x — 1| + |x^2 — x — 6| = x^2 + x — 7\);

2) \(|x^2 — 4| + |x^2 — x — 2| = |2x^2 — x — 6|\).

1) \(|2x — 1| + |x^2 — x — 6| = x^2 + x — 7;\)
\(|2x — 1| + |x^2 — x — 6| = (2x — 1) + (x^2 — x — 6);\)
Равенство \(|a| + |b| = a + b\) выполняется, если:
\(a \geq 0\) и \(b \geq 0;\)
Первое неравенство:
\(2x — 1 \geq 0;\)
\(2x \geq 1;\)
\(x \geq 0,5;\)
Второе неравенство:
\(x^2 — x — 6 \geq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,\) тогда:
\(x_1 = \frac{1-5}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{1+5}{2} = 3;\)
\((x + 2)(x — 3) \geq 0;\)
\(x \leq -2, \; x \geq 3;\)
Ответ: \(x \in [3; +\infty).\)

2) \(|x^2 — 4| + |x^2 — x — 2| = |2x^2 — x — 6|;\)
\(|x^2 — 4| + |x^2 — x — 2| = |(x^2 — 4) + (x^2 — x — 2)|;\)
Равенство \(|a| + |b| = |a + b|\) выполняется, если:
\(a \geq 0\) и \(b \geq 0\) или \(a \leq 0\) и \(b \leq 0,\) то есть \(ab \geq 0;\)
Нули квадратного трехчлена:
\(x^2 — x — 2 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\) тогда:
\(x_1 = \frac{1-3}{2} = -1\) и \(x_2 = \frac{1+3}{2} = 2;\)
Решения неравенства:
\((x^2 — 4)(x^2 — x — 2) \geq 0;\)
\((x + 2)(x — 2)(x + 1)(x — 2) \geq 0;\)
\((x + 2)(x + 1) \geq 0,\; x — 2 = 0;\)
\(x \leq -2,\; x \geq -1,\; x = 2;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -2] \cup [-1; +\infty).\)

Рассмотрим подробно первое уравнение: \(|2x — 1| + |x^{2} — x — 6| = x^{2} + x — 7\). Для раскрытия модулей нужно понять, при каких значениях переменной выражения под модулями неотрицательны. Модуль раскрывается по правилу: если выражение под модулем неотрицательно, то модуль убирается, если отрицательно — меняется знак на противоположный. В уравнении два модуля: \(a = 2x — 1\) и \(b = x^{2} — x — 6\). Их сумма равна \(x^{2} + x — 7\). По свойству модуля: \(|a| + |b| = a + b\), если \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\). Значит, надо решить систему \(2x — 1 \geq 0\) и \(x^{2} — x — 6 \geq 0\).

Первое неравенство \(2x — 1 \geq 0\) решается так: переносим 1 вправо, делим обе части на 2, получаем \(x \geq \frac{1}{2}\). Второе неравенство \(x^{2} — x — 6 \geq 0\) — квадратное, решаем через дискриминант: \(D = (-1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\). Корни: \(x_{1} = \frac{-(-1) — 5}{2} = \frac{1 — 5}{2} = -2\), \(x_{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\). Значит, парабола ветвями вверх, неравенство выполняется при \(x \leq -2\) или \(x \geq 3\). Нужно найти пересечение с \(x \geq \frac{1}{2}\), то есть \(x \geq 3\). Это и есть область, где выполняется исходное уравнение: \(x \in [3; +\infty)\).

Переходим ко второму уравнению: \(|x^{2} — 4| + |x^{2} — x — 2| = |2x^{2} — x — 6|\). Здесь модуль суммы равен сумме модулей, если оба выражения под модулями неотрицательны или оба неотрицательны, либо оба отрицательны, то есть их произведение неотрицательно: \(ab \geq 0\), где \(a = x^{2} — 4\), \(b = x^{2} — x — 2\). Найдём нули этих выражений: \(x^{2} — 4 = 0\) при \(x = 2\) и \(x = -2\); \(x^{2} — x — 2 = 0\) при \(x = 2\) и \(x = -1\) (решаем через дискриминант: \(D = (-1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\), \(x_{1} = \frac{1-3}{2} = -1\), \(x_{2} = \frac{1+3}{2} = 2\)). Теперь рассмотрим знак произведения \((x^{2} — 4)(x^{2} — x — 2) \geq 0\).

Разложим множители: \(x^{2} — 4 = (x + 2)(x — 2)\), \(x^{2} — x — 2 = (x — 2)(x + 1)\). Получаем \((x + 2)(x — 2)(x + 1)(x — 2) \geq 0\). Заметим, что множитель \((x — 2)\) повторяется, значит, можно записать как \((x + 2)(x + 1)(x — 2)^{2} \geq 0\). Квадрат любого выражения всегда неотрицателен, поэтому знак неравенства определяется произведением \((x + 2)(x + 1)\). Это выражение неотрицательно при \(x \leq -2\) или \(x \geq -1\). Не забываем о точках, где выражение обращается в ноль: \(x = -2\) и \(x = -1\), и также \(x = 2\), где оба множителя равны нулю (входит в решение). Значит, решением будет объединение промежутков: \(x \in (-\infty; -2] \cup [-1; +\infty)\).

В результате, для первого уравнения область допустимых значений: \(x \in [3; +\infty)\), для второго — \(x \in (-\infty; -2] \cup [-1; +\infty)\). Все вычисления проведены с учётом свойств раскрытия модулей, построения системы неравенств и анализа знаков произведения многочленов. Если требуется пересечение этих областей, то нужно выбрать значения, удовлетворяющие обоим условиям одновременно. В каждом случае промежутки найдены исходя из анализа критических точек и поведения выражений на промежутках между ними.