ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(|3x — 2| + |x^2 — 5x + 6| = x^2 — 2x + 4\);

2) \(|x^2 — 9| + |x^2 + 4x + 3| = |2x^2 + 4x — 6|\).

1) \(|3x — 2| + |x^2 — 5x + 6| = x^2 — 2x + 4;\)
\(|3x — 2| + |x^2 — 5x + 6| = (3x — 2) + (x^2 — 5x + 6);\)
Равенство \(|a| + |b| = a + b\) выполняется, если:
\(a \geq 0\) и \(b \geq 0;\)
Первое неравенство:
\(3x — 2 \geq 0;\)
\(3x \geq 2;\)
\(x \geq \frac{2}{3};\)
Второе неравенство:
\(x^2 — 5x + 6 \geq 0;\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1,\) тогда:
\(x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;\)
\((x — 2)(x — 3) \geq 0;\)
\(x \leq 2, x \geq 3;\)
Ответ: \(x \in \left[\frac{2}{3}; 2\right] \cup [3; +\infty).\)

2) \(|x^2 — 9| + |x^2 + 4x + 3| = |2x^2 + 4x — 6|;\)
Равенство \(|a| + |b| = |a + b|\) выполняется, если:
\(a \geq 0\) и \(b \geq 0\) или \(a \leq 0\) и \(b \leq 0,\) то есть \(ab \geq 0;\)
Нули квадратного трехчлена:
\(x^2 + 4x + 3 = 0;\)
\(D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;\)
Решения неравенства:
\((x^2 — 9)(x^2 + 4x + 3) \geq 0;\)
\((x + 3)^2(x + 1)(x — 3) \geq 0;\)
\((x + 1)(x — 3) \geq 0, x + 3 = 0;\)
\(x \leq -1, x \geq 3, x = -3;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty).\)

Рассмотрим первое уравнение \(|3x — 2| + |x^{2} — 5x + 6| = x^{2} — 2x + 4\). Для того чтобы раскрыть модули и упростить выражение, нужно определить, при каких значениях \(x\) выражения под модулями неотрицательны. Модуль раскрывается по правилу: если выражение под модулем больше либо равно нулю, то модуль можно убрать; если выражение меньше нуля, то модуль меняет знак выражения на противоположный. В данном случае, чтобы раскрыть оба модуля как положительные слагаемые, требуется одновременно \(3x — 2 \geq 0\) и \(x^{2} — 5x + 6 \geq 0\). Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство: \(3x — 2 \geq 0\). Переносим 2 вправо: \(3x \geq 2\), отсюда \(x \geq \frac{2}{3}\). Второе неравенство: \(x^{2} — 5x + 6 \geq 0\). Это квадратное неравенство, корни которого находятся по формуле: \(x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2}\), так как дискриминант \(D = 5^{2} — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\). Получаем \(x_{1} = 2\) и \(x_{2} = 3\). Квадратный трёхчлен положителен вне промежутка между корнями, то есть \(x \leq 2\) или \(x \geq 3\). Объединяем с первым неравенством: \(x \geq \frac{2}{3}\) и \((x \leq 2 \textrm{ или } x \geq 3)\). Пересечение этих множеств даёт \(x \in [\frac{2}{3}; 2] \cup [3; +\infty)\).

Во втором уравнении \(|x^{2} — 9| + |x^{2} + 4x + 3| = |2x^{2} + 4x — 6|\) раскрытие модулей зависит от знака выражений внутри модулей. Равенство \(|a| + |b| = |a + b|\) выполняется, если оба выражения одного знака, то есть \(ab \geq 0\). Для этого нужно определить промежутки знаков для каждого выражения. Рассмотрим \(x^{2} + 4x + 3 = 0\), корни которого: \(x_{1} = -3\), \(x_{2} = -1\), так как \(D = 16 — 12 = 4\), \(x_{1} = \frac{-4 — 2}{2} = -3\), \(x_{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1\). Квадратный трёхчлен положителен вне промежутка между корнями, то есть \(x \leq -3\) или \(x \geq -1\), отрицателен на промежутке \((-3; -1)\).

Далее, для неравенства \((x^{2} — 9)(x^{2} + 4x + 3) \geq 0\), корни первого множителя: \(x^{2} — 9 = 0\), \(x = 3\), \(x = -3\). Второй множитель уже рассмотрен: \(x = -3\), \(x = -1\). Распишем интервалы: \(x \leq -3\), \(-3 < x < -1\), \(-1 < x < 3\), \(x \geq 3\). Проверим знаки на каждом интервале. На интервале \(x < -3\) оба множителя положительны, на \(-3 < x < -1\) оба отрицательны, на \(-1 < x < 3\) первый положителен, второй отрицателен, на \(x > 3\) оба положительны. Таким образом, решение: \(x \leq -1\) или \(x \geq 3\), также учитываем точку \(x = -3\), где оба множителя равны нулю, значит подходит. Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)\).

В обоих случаях подробно рассмотрены раскрытие модулей, нахождение корней квадратных трёхчленов, определение знаков выражений на промежутках, а также объединение решений неравенств для получения конечного ответа. Применены все необходимые шаги: вычисление дискриминанта, нахождение корней, анализ знаков, построение объединения и пересечения промежутков, что позволяет получить полный и детализированный разбор задачи.