ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства в зависимости от значения параметра a:

1) \(|x — a|(5x^2 — 2x — 3) < 0\);

2) \(|x — a|(5x^2 — 2x — 3) \le 0\).

Найти множество решений неравенства в зависимости от значения параметра a:

1) \(|x-a|(5x^2-2x-3)<0;\)
\(5x^2-2x-3<0;\)
\(D=2^2+4\cdot5\cdot3=4+60=64,\) тогда:
\(x_1=\frac{2-8}{2\cdot5}=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}\) и \(x_2=\frac{2+8}{2\cdot5}=\frac{10}{10}=1;\)
\((x+\frac{3}{5})(x-1)<0,\ x-a\neq0;\)
\(-\frac{3}{5}<x<1,\ x\neq a;\)
Ответ: если \(a\leq-\frac{3}{5}\) или \(a\geq1,\) то \(x\in(-\frac{3}{5};1);\)
если \(-\frac{3}{5}<a<1,\) то \(x\in(-\frac{3}{5};a)\cup(a;1).\)

2) \(|x-a|(5x^2-2x-3)\leq0;\)
\(5x^2-2x-3\leq0;\)
\(D=2^2+4\cdot5\cdot3=4+60=64,\) тогда:
\(x_1=\frac{2-8}{2\cdot5}=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}\) и \(x_2=\frac{2+8}{2\cdot5}=\frac{10}{10}=1;\)
\((x+\frac{3}{5})(x-1)\leq0,\ x-a=0;\)
\(-\frac{3}{5}\leq x\leq1,\ x=a;\)
Ответ: если \(a<-\frac{3}{5}\) или \(a>1,\) то \(x\in[-\frac{3}{5};1]\cup\{a\};\)
если \(-\frac{3}{5}\leq a\leq1,\) то \(x\in[-\frac{3}{5};1].\)

Рассмотрим неравенство \(|x-a|(5x^{2}-2x-3)<0\). Для того чтобы произведение двух множителей было отрицательным, необходимо, чтобы один из них был положительным, а другой отрицательным. Так как модуль \(|x-a|\) всегда неотрицателен и равен нулю только при \(x=a\), то выражение \(|x-a|\) строго положительно для всех \(x\neq a\). Следовательно, чтобы всё произведение было отрицательным, второй множитель \(5x^{2}-2x-3\) должен быть отрицательным, а \(x\neq a\).

Для поиска интервала, на котором \(5x^{2}-2x-3<0\), решим квадратное неравенство. Найдём корни квадратного уравнения \(5x^{2}-2x-3=0\):
Дискриминант \(D= (-2)^{2} — 4\cdot5\cdot(-3) = 4 + 60 = 64\).
Корни уравнения:
\(x_{1} = \frac{2-8}{2\cdot5} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}\),
\(x_{2} = \frac{2+8}{2\cdot5} = \frac{10}{10} = 1\).
Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный, ветви параболы направлены вверх, и выражение \(5x^{2}-2x-3<0\) выполняется на интервале между корнями, то есть \(-\frac{3}{5}<x<1\).

Однако, по условию, \(x\neq a\), так как в точке \(x=a\) модуль обращается в ноль, и всё выражение становится равно нулю, что не удовлетворяет строгому неравенству. Поэтому множество решений зависит от значения параметра \(a\): если \(a\leq-\frac{3}{5}\) или \(a\geq1\), то точка \(a\) не входит в интервал \(-\frac{3}{5}<x<1\), и множество решений — весь этот интервал. Если же \(-\frac{3}{5}<a<1\), то точка \(a\) лежит внутри интервала, и её необходимо исключить, то есть множество решений составляют два промежутка: \(-\frac{3}{5}<x<a\) и \(a<x<1\).

Рассмотрим теперь неравенство \(|x-a|(5x^{2}-2x-3)\leq0\). Здесь произведение может быть равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Модуль \(|x-a|=0\) только при \(x=a\), и тогда всё выражение равно нулю независимо от значения второго множителя. Второй множитель \(5x^{2}-2x-3\leq0\) на интервале \(-\frac{3}{5}\leq x\leq1\). Следовательно, множество решений состоит из всех \(x\) таких, что \(-\frac{3}{5}\leq x\leq1\), а также точки \(x=a\), если \(a\) не попадает в этот интервал.

Если \(a<-\frac{3}{5}\) или \(a>1\), то \(a\) не принадлежит интервалу \(-\frac{3}{5};1\), и множество решений — это объединение интервала \(-\frac{3}{5}\leq x\leq1\) и отдельной точки \(a\). Если же \(-\frac{3}{5}\leq a\leq1\), то точка \(a\) уже входит в интервал, и множество решений — только сам интервал \(-\frac{3}{5}\leq x\leq1\).

В заключение, если рассматривать оба случая, то для строгого неравенства множество решений зависит от того, попадает ли параметр \(a\) внутрь интервала между корнями квадратного выражения; если попадает, точку \(a\) необходимо исключить. Для нестрогого неравенства объединяется интервал с точкой \(a\), если она вне интервала, либо просто берётся весь интервал, если \(a\) уже входит в него.