ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства в зависимости от значения параметра a:

1) \(|x — a|(7x^2 — 4x — 3) < 0\);

2) \(|x — a|(7x^2 — 4x — 3) \le 0\).

Найти множество решений неравенства в зависимости от значения параметра \(a\):

1) \(|x-a|(7x^2-4x-3)<0;\)
\(7x^2-4x-3<0;\)
\(D = 4^2 + 4 \cdot 7 \cdot 3 = 16 + 84 = 100,\) тогда:
\(x_1 = \frac{4-10}{2\cdot7} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}\) и \(x_2 = \frac{4+10}{2\cdot7} = \frac{14}{14} = 1;\)
\((x+\frac{3}{7})(x-1)<0,\; x-a\neq0;\)
\(-\frac{3}{7}<x<1,\; x\neq a;\)

Ответ: если \(a\leq -\frac{3}{7}\) или \(a\geq 1,\) то \(x\in(-\frac{3}{7};1);\)

если \(-\frac{3}{7}<a<1,\) то \(x\in(-\frac{3}{7};a)\cup(a;1).\)

2) \(|x-a|(7x^2-4x-3)\leq0;\)
\(7x^2-4x-3\leq0;\)
\(D = 4^2 + 4\cdot7\cdot3 = 16 + 84 = 100,\) тогда:
\(x_1 = \frac{4-10}{2\cdot7} = -\frac{3}{7},\; x_2 = \frac{4+10}{2\cdot7} = 1;\)
\((x+\frac{3}{7})(x-1)\leq0,\; x-a=0;\)
\(-\frac{3}{7}\leq x\leq 1,\; x=a;\)

Ответ: если \(a\leq -\frac{3}{7}\) или \(a>1,\) то \(x\in[-\frac{3}{7};1]\cup\{a\};\)

если \(-\frac{3}{7}<a\leq 1,\) то \(x\in[-\frac{3}{7};1].\)

Рассмотрим подробно решение задачи на множество решений неравенства с параметром \(a\). Исходное неравенство имеет вид \(|x-a|(7x^{2}-4x-3)<0\). Поскольку модуль всегда неотрицателен, выражение \(|x-a|\) может быть равно нулю только при \(x=a\), а во всех остальных случаях оно больше нуля. Следовательно, чтобы произведение \(|x-a|(7x^{2}-4x-3)\) было строго меньше нуля, необходимо, чтобы \(7x^{2}-4x-3<0\) и одновременно \(x\neq a\). Решим квадратное неравенство \(7x^{2}-4x-3<0\): найдем его корни через дискриминант \(D\). \(D=4^{2}+4\cdot7\cdot3=16+84=100\). Корни: \(x_{1}=\frac{4-10}{2\cdot7}=\frac{-6}{14}=-\frac{3}{7}\), \(x_{2}=\frac{4+10}{2\cdot7}=\frac{14}{14}=1\). Так как коэффициент при \(x^{2}\) положителен, ветви параболы направлены вверх, и неравенство выполняется между корнями: \(-\frac{3}{7}<x<1\).

Теперь нужно учесть условие \(x\neq a\). Если \(a\leq-\frac{3}{7}\), то точка \(a\) лежит вне промежутка \(-\frac{3}{7}<x<1\), и исключать её не нужно, поэтому множество решений: \(x\in(-\frac{3}{7};1)\). Аналогично, если \(a\geq1\), точка \(a\) также лежит вне промежутка, и множество решений остаётся тем же: \(x\in(-\frac{3}{7};1)\). Если же \(-\frac{3}{7}<a<1\), то точка \(a\) лежит внутри промежутка, и её необходимо исключить, поэтому множество решений будет \(x\in(-\frac{3}{7};a)\cup(a;1)\).

Перейдём ко второму неравенству: \(|x-a|(7x^{2}-4x-3)\leq0\). Здесь произведение может быть равно нулю либо когда один из множителей равен нулю. Первый множитель \(|x-a|=0\) при \(x=a\), второй множитель \(7x^{2}-4x-3=0\) при \(x=-\frac{3}{7}\) и \(x=1\). Значит, все точки \(x=a\), \(x=-\frac{3}{7}\), \(x=1\) включаются в решение, если они удовлетворяют исходному условию. Неравенство \(7x^{2}-4x-3\leq0\) решается аналогично: промежуток \(-\frac{3}{7}\leq x\leq 1\). Если \(a\) лежит вне этого промежутка (\(a\leq-\frac{3}{7}\) или \(a>1\)), то к промежутку \(-\frac{3}{7}\leq x\leq 1\) добавляется точка \(x=a\), так как при \(x=a\) выражение равно нулю. Если же \(-\frac{3}{7}<a\leq1\), то точка \(a\) уже входит в промежуток, и множество решений остаётся \(x\in[-\frac{3}{7};1]\).

В итоге, для первого неравенства: если \(a\leq-\frac{3}{7}\) или \(a\geq1\), то \(x\in(-\frac{3}{7};1)\); если \(-\frac{3}{7}<a<1\), то \(x\in(-\frac{3}{7};a)\cup(a;1)\). Для второго неравенства: если \(a\leq-\frac{3}{7}\) или \(a>1\), то \(x\in[-\frac{3}{7};1]\cup\{a\}\); если \(-\frac{3}{7}<a\leq1\), то \(x\in[-\frac{3}{7};1]\). Обозначение \(\emptyset\) здесь не требуется, так как множество решений всегда существует для любого значения параметра \(a\).