ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства в зависимости от значения параметра a:

1) \(|x — 1|(x^2 — (a + 3)x + 3a) < 0\);

2) \(|x — 1|(x^2 — (a + 3)x + 3a) \le 0\).

1) \(|x-1|(x^2-(a+3)x+3a)<0;\)
\(x^2-(a+3)x+3a<0;\)
\(D = (a + 3)^2 — 4 \cdot 3a = a^2 + 6a + 9 — 12a;\)
\(D = a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2,\) тогда:
\(x_1 = \frac{(a + 3) — (a — 3)}{2} = \frac{6}{2} = 3;\)
\(x_2 = \frac{(a + 3) + (a — 3)}{2} = \frac{2a}{2} = a;\)
\((x — x_1)(x — x_2)<0,\ x — 1 \neq 0;\)
\(x_1 < x < x_2,\ x \neq 1;\)
Ответ: если \(a < 1\), то \(x \in (a; 1) \cup (1; 3);\)
если \(1 \leq a < 3\), то \(x \in (a; 3);\)
если \(a = 3\), то \(x \in \emptyset;\)
если \(a > 3\), то \(x \in (3; a).\)

2) \(|x-1|(x^2-(a+3)x+3a)\leq 0;\)
\(x^2-(a+3)x+3a \leq 0;\)
\(D = (a + 3)^2 — 4 \cdot 3a = a^2 + 6a + 9 — 12a;\)
\(D = a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2,\) тогда:
\(x_1 = \frac{(a + 3) — (a — 3)}{2} = \frac{6}{2} = 3;\)
\(x_2 = \frac{(a + 3) + (a — 3)}{2} = \frac{2a}{2} = a;\)
\((x — x_1)(x — x_2) \leq 0,\ x — 1 = 0;\)
\(x_1 \leq x \leq x_2,\ x = 1;\)
Ответ: если \(a \leq 1\), то \(x \in [a; 3];\)
если \(1 < a < 3\), то \(x \in [a; 3] \cup \{1\};\)
если \(a = 3\), то \(x \in \{1; 3\};\)
если \(a > 3\), то \(x \in [3; a] \cup \{1\}.\)

В первом неравенстве рассматривается выражение \(|x-1|(x^{2}-(a+3)x+3a)<0\). Абсолютное значение \(|x-1|\) всегда неотрицательно, поэтому знак выражения определяется только вторым множителем \(x^{2}-(a+3)x+3a\). Неравенство строгое, значит интересуют только те значения \(x\), при которых произведение отрицательно. Это возможно, когда \(x-1 \neq 0\) и \(x^{2}-(a+3)x+3a<0\). Решим квадратное неравенство. Найдём дискриминант: \(D = (a+3)^{2}-4\cdot3a = a^{2}+6a+9-12a = a^{2}-6a+9 = (a-3)^{2}\). Корни квадратного уравнения: \(x_{1} = \frac{(a+3)-(a-3)}{2} = \frac{6}{2} = 3\), \(x_{2} = \frac{(a+3)+(a-3)}{2} = \frac{2a}{2} = a\). Квадратичная функция принимает отрицательные значения между корнями, если коэффициент при \(x^{2}\) положительный, а это так, поскольку он равен 1.

Далее учитываем, что \(x-1 \neq 0\), то есть \(x \neq 1\). Таким образом, множество решений определяется пересечением интервала между корнями с условием исключения точки \(x=1\). Рассмотрим различные случаи для параметра \(a\):
— Если \(a < 1\), то корни расположены так: \(a < 1 < 3\). Интервал между корнями разбивается на два: \((a; 1)\) и \((1; 3)\), оба подходят, исключая точку \(x=1\).
— Если \(1 \leq a < 3\), то корни расположены так: \(1 \leq a < 3\). Интервал между корнями: \((a; 3)\), точка \(x=1\) не попадает в интервал, так как \(a \geq 1\).
— Если \(a = 3\), оба корня совпадают, интервал отсутствует, решений нет: \(x \in \emptyset\).
— Если \(a > 3\), корни расположены так: \(3 < a\), интервал между корнями: \((3; a)\), точка \(x=1\) вне интервала.

Во втором неравенстве рассматривается выражение \(|x-1|(x^{2}-(a+3)x+3a)\leq0\). Здесь знак выражения может быть нулём, если один из множителей равен нулю, то есть либо \(x-1=0\) (\(x=1\)), либо \(x^{2}-(a+3)x+3a=0\) (\(x=a\) или \(x=3\)). Кроме того, произведение меньше или равно нулю, когда оба множителя имеют противоположные знаки или один из них равен нулю. Для квадратного неравенства \(x^{2}-(a+3)x+3a \leq 0\) решениями будут значения \(x\) из отрезка между корнями: \(x_{1} = 3, x_{2} = a\). В зависимости от порядка корней (что зависит от значения параметра \(a\)), интервал либо \([a; 3]\), либо \([3; a]\).

Также нужно добавить точку \(x=1\), поскольку при \(x=1\) выражение \(|x-1|(x^{2}-(a+3)x+3a)\) всегда равно нулю. Тогда множество решений:
— Если \(a \leq 1\), то \(a < 1 < 3\), интервал \([a; 3]\), точка \(x=1\) уже включена.
— Если \(1 < a < 3\), то интервал \([a; 3]\) не содержит \(x=1\), поэтому добавляем отдельно: \([a; 3] \cup \{1\}\).
— Если \(a = 3\), оба корня совпадают, решения только точки \(x=1\) и \(x=3\): \(\{1; 3\}\).
— Если \(a > 3\), интервал \([3; a]\), точка \(x=1\) вне интервала, поэтому объединяем: \([3; a] \cup \{1\}\).

Таким образом, в каждом случае множество решений строго зависит от значения параметра \(a\), и при изменении \(a\) границы интервалов и включаемые точки меняются. Важно внимательно анализировать положение корней относительно единицы, чтобы корректно исключить или добавить точку \(x=1\), а также определить правильный интервал между корнями для каждого случая.