ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \((x-1)(x+3)^2(x-2)<0\) 2) \(|x-4|(x+1)(x-3)>0\)
3) \((2x+3)(1-4x)^4(x-2)^3(x+6)<0\) 4) \((1-3x)^3(x+2)^2(x-4)^5(x-3)>0\)

1) \((x-1)(x+3)^2(x-2)<0\);
\((x-1)(x-2)<0, x+3\neq0;\)
\(1<x<2, x\neq-3;\)
Ответ: \(x \in (1; 2).\)

2) \(|x-4|(x+1)(x-3)>0;\)
\((x+1)(x-3)>0, x-4\neq0;\)
\(x<-1, x>3, x\neq4;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (3; 4) \cup (4; +\infty).\)

3) \((2x+3)(1-4x)^4(x-2)^3(x+6)<0;\)
\((x+6)(2x+3)(x-2)<0, 1-4x\neq0;\)
\(x<-6, -\frac{3}{2}<x<2, x\neq\frac{1}{4};\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -6) \cup \left(-\frac{3}{2}; \frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{1}{4}; 2\right).\)

4) \((1-3x)^3(x+2)^2(x-4)^5(x-3)>0;\)
\((3x-1)(x+3)(x-4)<0, x+2\neq0;\)
\(x<-\frac{1}{3}, 3<x<4, x\neq-2;\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -\frac{1}{3}) \cup (3; 4).\)

1) Рассмотрим неравенство \((x-1)(x+3)^2(x-2)<0\).
Корни уравнения: \(x=1, x=-3, x=2\).
Корень \(x=-3\) имеет чётную степень, поэтому знак выражения не изменяется при переходе через этот корень.
Промежутки знакопостоянства:
\[
(-\infty; -3), (-3; 1), (1; 2), (2; +\infty).
\]
Исследуем знак выражения на каждом промежутке:
1. На промежутке \((-\infty; -3)\) выражение положительное.
2. На промежутке \((-3; 1)\) выражение отрицательное.
3. На промежутке \((1; 2)\) выражение положительное.
4. На промежутке \((2; +\infty)\) выражение отрицательное.

Ищем значения, при которых выражение меньше нуля:
\((x-1)(x-2)<0, x+3\neq 0;\)
Получаем: \(1<x<2, x\neq-3.\)
Ответ: \(x \in (1; 2).\)

2) Рассмотрим неравенство \(|x-4|(x+1)(x-3)>0\).
Корни уравнения: \(x=4, x=-1, x=3.\)
Абсолютная величина \(|x-4|\) равна нулю при \(x=4\), поэтому этот корень исключаем из рассмотрения.
Промежутки знакопостоянства:
\[
(-\infty; -1), (-1; 3), (3; 4), (4; +\infty).
\]
Исследуем знак выражения на каждом промежутке:
1. На промежутке \((- \infty; -1)\) выражение положительное.
2. На промежутке \((-1; 3)\) выражение отрицательное.
3. На промежутке \((3; 4)\) выражение положительное.
4. На промежутке \((4; +\infty)\) выражение положительное.

Ищем значения, при которых выражение больше нуля:
\((x+1)(x-3)>0, x-4\neq0;\)
Получаем: \(x<-1, x>3, x\neq4.\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (3; 4) \cup (4; +\infty).\)

3) Рассмотрим неравенство \((2x+3)(1-4x)^4(x-2)^3(x+6)<0\).
Корни уравнения: \(x=-\frac{3}{2}, x=\frac{1}{4}, x=2, x=-6.\)
Корень \(x=\frac{1}{4}\) имеет чётную степень, поэтому знак выражения не изменяется при переходе через этот корень.
Промежутки знакопостоянства:
\[
(-\infty; -6), (-6; -\frac{3}{2}), (-\frac{3}{2}; \frac{1}{4}), (\frac{1}{4}; 2), (2; +\infty).
\]
Исследуем знак выражения на каждом промежутке:
1. На промежутке \((- \infty; -6)\) выражение отрицательное.
2. На промежутке \((-6; -\frac{3}{2})\) выражение положительное.
3. На промежутке \((- \frac{3}{2}; \frac{1}{4})\) выражение отрицательное.
4. На промежутке \((\frac{1}{4}; 2)\) выражение отрицательное.
5. На промежутке \((2; +\infty)\) выражение положительное.

Ищем значения, при которых выражение меньше нуля:
\((x+6)(2x+3)(x-2)<0, 1-4x\neq0;\)
Получаем: \(x<-6, -\frac{3}{2}<x<2, x\neq\frac{1}{4}.\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -6) \cup \left(-\frac{3}{2}; \frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{1}{4}; 2\right).\)

4) Рассмотрим неравенство \((1-3x)^3(x+2)^2(x-4)^5(x-3)>0\).
Корни уравнения: \(x=-\frac{1}{3}, x=-2, x=4, x=3.\)
Корень \(x=-2\) имеет чётную степень, поэтому знак выражения не изменяется при переходе через этот корень.
Промежутки знакопостоянства:
\[
(-\infty; -2), (-2; -\frac{1}{3}), (-\frac{1}{3}; 3), (3; 4), (4; +\infty).
\]
Исследуем знак выражения на каждом промежутке:
1. На промежутке \((- \infty; -2)\) выражение отрицательное.
2. На промежутке \((-2; -\frac{1}{3})\) выражение положительное.
3. На промежутке \((- \frac{1}{3}; 3)\) выражение отрицательное.
4. На промежутке \((3; 4)\) выражение положительное.
5. На промежутке \((4; +\infty)\) выражение отрицательное.

Ищем значения, при которых выражение больше нуля:
\((3x-1)(x+3)(x-4)<0, x+2\neq0;\)
Получаем: \(x<-\frac{1}{3}, 3<x<4, x\neq-2.\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -\frac{1}{3}) \cup (3; 4).\)