ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства в зависимости от значения параметра a:

1) \(|x + 2|(x^2 — (a + 1)x + a) < 0\);

2) \(|x + 2|(x^2 — (a + 1)x + a) \le 0\).

Найти множество решений неравенства в зависимости от значения параметра \( a \):

1) \( |x + 2|(x^2 — (a + 1)x + a) < 0; \)
\( x^2 — (a + 1)x + a < 0; \)
\( D = (a + 1)^2 — 4a = a^2 + 2a + 1 — 4a; \)
\( D = a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2, \) тогда:
\( x_1 = \frac{(a + 1) — (a — 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1; \)
\( x_2 = \frac{(a + 1) + (a — 1)}{2} = \frac{2a}{2} = a; \)
\( (x — x_1)(x — x_2) < 0, \quad x + 2 \neq 0; \)
\( x_1 < x < x_2, \quad x \neq -2; \)
Ответ: если \( a < -2 \), то \( x \in (a; -2) \cup (-2; 1); \)
если \( -2 \leq a < 1 \), то \( x \in (a; 1); \)
если \( a = 1 \), то \( x \in \emptyset; \)
если \( a > 1 \), то \( x \in (1; a); \)

2) \( |x + 2|(x^2 — (a + 1)x + a) \leq 0; \)
\( x^2 — (a + 1)x + a \leq 0; \)
\( D = (a + 1)^2 — 4a = a^2 + 2a + 1 — 4a; \)
\( D = a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2, \) тогда:
\( x_1 = \frac{(a + 1) — (a — 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1; \)
\( x_2 = \frac{(a + 1) + (a — 1)}{2} = \frac{2a}{2} = a; \)
\( (x — x_1)(x — x_2) \leq 0, \quad x + 2 \neq 0; \)
\( x_1 \leq x \leq x_2, \quad x \neq -2; \)
Ответ: если \( a \leq -2 \), то \( x \in [a; 1]; \)
если \( -2 < a < 1 \), то \( x \in [a; 1] \setminus \{-2\}; \)
если \( a = 1 \), то \( x \in \{-2; 1\}; \)
если \( a > 1 \), то \( x \in [1; a] \setminus \{-2\}. \)

Рассмотрим подробно решение задачи о множестве решений неравенства в зависимости от значения параметра \(a\). Исходное выражение: \( |x+2|(x^{2}-(a+1)x+a)<0 \). Для того чтобы произведение двух выражений было отрицательным, необходимо чтобы одно из них было положительным, а другое отрицательным. Так как модуль \( |x+2| \) всегда неотрицателен, то знак всего выражения зависит исключительно от знака скобки \( x^{2}-(a+1)x+a \), а также от того, что \( x+2 \neq 0 \), то есть \( x \neq -2 \).

Рассмотрим квадратное неравенство \( x^{2}-(a+1)x+a<0 \). Найдём его корни по формуле: дискриминант \( D = (a+1)^{2}-4a = a^{2}+2a+1-4a = a^{2}-2a+1 = (a-1)^{2} \). Корни будут:
\( x_1 = \frac{(a+1)-(a-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \),
\( x_2 = \frac{(a+1)+(a-1)}{2} = \frac{2a}{2} = a \).
Так как коэффициент при \( x^{2} \) положительный, ветви параболы направлены вверх, и неравенство \( x^{2}-(a+1)x+a<0 \) выполняется между корнями: \( x_1 < x < x_2 \), при условии, что \( x_1 < x_2 \), то есть \( 1 < a \).

Однако, если \( a < 1 \), то \( x_2 < x_1 \), и промежуток решения меняется местами: \( a < x < 1 \). В любом случае, мы должны исключить точку \( x = -2 \) из множества решений, так как модуль обращается в ноль, а произведение не может быть отрицательным. Далее, рассмотрим различные случаи для параметра \( a \):

1. Если \( a < -2 \), то \( x_2 = a < x_1 = 1 \), и интервал решений будет \( x \in (a; 1) \), но так как нужно исключить \( x = -2 \), а также учесть, что при \( x < -2 \) модуль \( x+2 \) отрицателен, то получится два интервала: \( x \in (a; -2) \cup (-2; 1) \).
2. Если \( -2 \leq a < 1 \), то \( a \geq -2 \), и \( a < 1 \), значит интервал решений просто \( x \in (a; 1) \), исключая точку \( x = -2 \), если она попадает в этот промежуток.
3. Если \( a = 1 \), то оба корня совпадают: \( x_1 = x_2 = 1 \). Интервал пустой, так как не существует значений \( x \), удовлетворяющих неравенству, следовательно, \( x \in \emptyset \).
4. Если \( a > 1 \), то \( x_1 = 1 < x_2 = a \), и интервал решений \( x \in (1; a) \), исключая точку \( x = -2 \), если она попадает в этот промежуток.

Перейдём ко второму неравенству: \( |x+2|(x^{2}-(a+1)x+a) \leq 0 \). Здесь анализ аналогичен, но теперь допускается равенство нулю, то есть точки, где либо \( x+2 = 0 \), либо \( x^{2}-(a+1)x+a = 0 \). Однако, если \( x+2 = 0 \), то \( x = -2 \), и тогда произведение равно нулю. Если \( x^{2}-(a+1)x+a = 0 \), то \( x = 1 \) или \( x = a \). Таким образом, множество решений будет включать граничные точки.

1. Если \( a \leq -2 \), то \( x_2 = a \leq -2 \), и интервал решений \( x \in [a; 1] \), включая граничные точки, но исключая \( x = -2 \), если она не входит в интервал.
2. Если \( -2 < a < 1 \), то интервал решений \( x \in [a; 1] \), но при этом \( x = -2 \) может быть включён, если он принадлежит промежутку, то его нужно исключить: \( x \in [a; 1] \setminus \{-2\} \).
3. Если \( a = 1 \), то оба корня совпадают: \( x_1 = x_2 = 1 \), и решения только в точках \( x = -2 \) и \( x = 1 \), то есть \( x \in \{-2; 1\} \).
4. Если \( a > 1 \), то интервал решений \( x \in [1; a] \), исключая точку \( x = -2 \), если она попадает в этот промежуток: \( x \in [1; a] \setminus \{-2\} \).

В результате, для каждого значения параметра \( a \) множество решений строится на основании положения корней квадратного уравнения, направления ветвей параболы, а также особенностей, связанных с модулем и допустимостью равенства нулю. Промежутки решений корректируются с учётом исключения точки \( x = -2 \), где выражение под модулем обращается в ноль и влияет на знак всего произведения.